Материал: Краткий курс лекций

40 Оси Кенига

42.1Определения

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

•Главный вектор сил инерции системы материальных точек равен силе инерции центра масс системы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы

Главный момент относительно точки О даламберовых сил инерции системы материальных точек имеет вид:

(a)

~ (N )

~ (инерц)

(116)

= L0

+ L0

или

~ (a)

~ (N )

(инерц)

= 0

(117)

~rvFv

~rv Nv

~rvΦv

v=1

Где момент инерции имеет вид:

L~ (инерц) =

~r Φ~

d~vv

~rv × mv~vv

−

v=1

v ×

v dt

В последнем выражении векторное произведение

d~rv

× mv~vv равно нулю, а

количества системы относительно точки . Поэтому

~ (инерц)

dK0

= −

+ X d~rdtv × mv~vv

P ~rvmv × ~vv — момент

(118)

•главный момент даламберовых сил инерции системы материальных точек относительно точки равен производной по времени от вектора кинетического момента этой системы относительно точки с противоположным знаком.

Рассмотрим систему материальных точек с массами mv и координатами xv, yv , zv в неподвижной системе координат Ox*y*z*.

z*6	z
	6

	ª	y
	ª
	x
O	*	- y*
ª	*
x

Рис. 78 Координаты центра масс этой системы определяются равенствами:

xc =	P mv	; yc =	P mv	; zc =	P mv	(119)
	mvxv		mvyv		mvzv
	P		P		P

Если в центре масс построить систему осей Cxyz, которые параллельны осям Ox*y*z* и перемещаются поступательно относительно этих (неподвижных) осей, то такая система осей будет называться осями Кенига.

41Кинетический момент абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки

Разобьем тело на n материальных точек с массами mν

Рис. 79 По определению кинетического момента:

KO =

KOν

r~ν × mν Vν

(120)

ν=1

Скорость любой точки тела выражается как:

Vν = VO + ω~ × r~ν , где VO = 0

С учетом последнего

KO =

r~ν × mν ω~ × r~ν =

mν (ω~(r~ν · r~ν ) − r~ν r~ν · ω~)

ν=1

Запишем векторы из предыдущего выражения как функции их проекций на оси координат:

KO = KOxi + KOyj + KOz k; r~ν = xν i + yν j + zν k; ω~ = ωxi + ωyj + ωz k

Учтем, что r~ν · r~ν = xν2 + yν2 + zν2;

r~ν · ω~ = xν ωx + yν ωy + zν ωz

Тогда выражение примет вид:

+ yν ωy + zν ωz )}

KO =

mν {(ωxi + ωyj + ωz k)(xν

+ yν + zν ) − (xν i + yν j + zν k)(xν ωx

ν=1

Для проекций вектора кинетического момента получаем выражения:

KOx = mν {ωxx2ν + ωxyν2 + ωxzν2 − x2ν ωx − xν yν ωy − xν zν ωz }

ν=1

KOy = mν {ωy x2ν + ωyyν2 + ωyzν2 − xν yν ωx − yν2ωy − yν zν ωz }

ν=1

KOz = mν {ωz x2ν + ωz yν2 + ωz zν2 − zν xν ωx − yν zν ωy − zν2ωz }

ν=1

Поскольку не зависят от выбора точки на теле, то предыдущие выражения можно переписать в виде:

n		n	n
X		X	X
KOx = [ mν (yν2 + zν2)]ωx − [ mν xν yν ]ωy − [				mν xν zν ]ωz
ν=1		ν=1	ν=1
n	n		n
X	X		X
KOy = −[	mν yν xν ]ωx + [	mν (zν2 + xν2 )]ωy − [		mν yν zν ]ωz
ν=1	ν=1		ν=1
n	n		n
X	X		X
KOz = −[	mν zν xν ]ωx − [	mν zν yν ]ωx + [	mν (xν2 + yν2)]ωz
ν=1	ν=1		ν=1

Введем обозначения:

	n
	X
Ixx =	mν (yν2 + zν2)
	ν=1
	n
	X
Iyy =	mν (xν2 + zν2)
	ν=1
	n
	X
Izz =	mν (xν2 + yν2)
	ν=1

	n
Ixy =	X
Ixy =	mν xν yν
	ν=1
	n
	X
Iyz =	mν yν zν
	ν=1
	n
	X
Izx =	mν zν xν
	ν=1
Получим:
KOx = Ixxωx − Ixyωy − Ixz ωz

KOy = Ixyωx − Iyyωy − Iyz ωz

KOz = Ixz ωx − Izyωy − Izz ωz

Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точки равен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.

42 Моменты инерции абсолютно твердого тела

Разделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .

	~	~	~
Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν i + yν j + zν + k.
Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формулам
	n
	X
~rc =	mν~rν .		(121)

ν=1

Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:

	n
	X
Ixx =	mν (yν2 + zν2),
	ν=1
	n
	X
Iyy =	mν (x2	+ z2),	(122)
	ν	ν
	ν=1
	n
	X
Izz =	mν (xν2 + yν2).

ν=1

Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:

Ixy =	mν xν yν ,
	ν=1
	n
Iyz =	X
Iyz =	mν yν zν ,	(123)

ν=1

Izx = mν zν xν .

ν=1

При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (122) и (123) принимают вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)dm,

Z Z Z

Iyy = (y2 + z2)dm,

Z Z Z

Izz = (z2 + x2)dm,

V
Ixy = Z Z Z	xydm,
V
Iyz = Z Z Z	yzdm,
V
Izx = Z Z Z	zxdm.
V

Обозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарный объем. C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,

V
Iyy = Z Z Z (x2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,		(124)
V
Izz = Z Z Z (x2 + y2)γ(x, y, z)dxdydz,
V
Ixy = Z Z Z	xyγ(x, y, z)dxdydz,
V
Iyz = Z Z Z	yzγ(x, y, z)dxdydz,	(125)
V
Izx = Z Z Z	zxγ(x, y, z) dxdydz.

Если тело — однородное, то выражения (124), (125), являющиеся компонентами тензора инерции тела, примут вид:

Z Z Z

Ixx = γ (y2 + z2)dxdydz,

Z Z Z

Iyy = γ (x2 + z2)dxdydz,

Z Z Z

Izz = γ (x2 + y2)dxdydz,

V
Ixy = γ Z Z Z	xydxdydz,
V

Iyz = γ Z Z Z	yzdxdydz,
V
Izx = γ Z Z Z	zxdxdydz.
V

42.2 Свойства тензора инерции

Диагональные элементы матрицы I (осевые моменты инерции) строго положительны:

Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.

Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:

Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx, Ixx + Izz ≥ Iyy.

42.3 Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюй-

генса

z0 z 6

C- y0

O		- y

x0

xª

Рис. 80 Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. По-

кажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Проведем через центр масс тела произвольные оси x0y0z0, а через любую точку на оси Cx0 — оси Oxyz, такие, что Oy||Cy0, Oz||Cz0 (рис. 80). Расстояние OC между осями и обозначим через d. Тогда по формулам (122) будет

В правой части равенства, согласно (126), первая сумма равна Icz0 , а вторая — массе тела . Найдем значение третьей суммы.

На основании формул (121) для координат центра масс P mkx0k = M x0c. Так как в нашем случае точка является началом координат, то x0c = 0 и, следовательно, P mkx0k = 0. окончательно получаем

IOz = IOz0 + M d2.

(128)

Формула выражает теорему Гюйгенса:

Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Источник: https://studfile.net/preview/16669168/

IOz = X mk(yk2 + xk2 ), IOz0 = X mk(y0k2 + x0k2 ).

Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = xk − d

−22x kd, а yk = yk.

Подставляем эти значения xk, yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d

и 2d за скобки,

IOz = X mk(y0k2 + x0k2 ) + (X mk)d2 − 2d X mkx0k.


_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
'Fratres' Арво Пярта - молитва в музыке
'Миссия университета' как научно-педагогический концепт эпохи постиндустриального развития
«Досрочные страховые пенсии»
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2