Материал: Компьютерное математическое моделирование

ЭТАПЫ И ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью (рис.2).

I. Первый этап компьютерного математического моделирования - определение целей моделирования.

ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Основные из них таковы:

• 1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);
• 2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
• 3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним это на примерах.

• 1. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается и в дальнейшем с увеличением скорости снова растет. Что же произошло, обусловив резкое уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет понять и получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.
• 2. Другая возможная цель моделирования - выработка концепции управления объектом. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.
• 3. Еще одна возможная цель моделирования - прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект. Оно может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого - экономических, социальных. Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве, то несравненно труднее предсказать экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС. И здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

II. Второй этап моделирования - ранжирование модели

Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим

первые (входные) величины через х₁, х₂, ....,x_n;

вторые (выходные) - через y₁,y₂,…,y_k .

Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде

у_J = F_J (х₁, х₂, ....,x_n ), (j = 1, 2,...,k),

где F_J - те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты, т.е. F_J (х₁, х₂, ....,x_n ) - оператор.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин у_j . От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели.

Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель.

Отбрасывание (по крайней мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования, однако способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить адекватна ли модель можно только в процессе экспериментов с ней и анализа результатов.

На рис. 1 проиллюстрированы две крайние ситуации:

• а) изменение параметра х_i очень сильно влияет на результирующую величину у_j ;
• б) изменение параметра х_i почти не влияет на у_j .

Ясно, что если все величины у_j, реагируют на изменение х_i так, как изображено на рис. 1(б), то х_i является параметром, который может быть из модели исключен.

Если же хотя бы одна из величин у_j реагирует на изменение х_i так, как изображено на рис. 1(а), то х_i нельзя исключать из числа важнейших параметров

Входные параметры могут быть известны «точно», т.е. поддаваться измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детерминированными вёличинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, входные параметры детерминированы - соответственно, детерминирован, т.е. однозначно развивается во времени процесс эволюции такой системы. Однако, в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции

«Случайный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследования, задаваемых вопросов резко меняется (они приобретают вид «С какой вероятностью...», «С каким математическим ожиданием...» и т.п.). Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыденной жизни (силы, действующие на летящий самолет в ветренную погоду, переход улицы при большом потоке транспорта и т.д.).

Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Пример последнего: на перекрестке улиц можно ожидать зеленого сигнала светофора и полминуты, и две минуты' (с разной вероятностью), но среднее время ожидания есть величина вполне определенная и именно он может быть о6ъектом моделирования.

Изобразим схему поэтапного процесса компьютерного математического моделирования:

Рис. 2.

III. Третий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к математической формулировке. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

IV. Четвертый этап - выбор метода исследования.

Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

V. Пятый этап - разработка алгоритма и составление программы - это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при реализации компьютерной математической модели наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного-Turbo-pascal) и объектно-ориентированного программирования(Delphi) .

VI. Шестой этап - отладка и тестирование программы.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

VII. Седьмой этап - расчеты на ЭВМ - численный эксперимент.

Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель считается адекватной реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов - ранжированию (отбрасываем или вводим в рассмотрение один или несколько исходных параметров) или уточним выбор метода решения.

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук, т.е. рассматривать математические модели в:

• § физике,
• § биологии,
• § экологии,
• § социологии и т.д.

Эта классификация естественна, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке.

Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату , т.е. модели, основанные на применении:

• § обыкновенных дифференциальных уравнений,
• § дифференциальных уравнений в частных производных,
• § стохастических методов,
• § дискретных алгебраических преобразований и т.д.

Эта классификация естественна для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

Если же человек интересуется общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, то он поставит на первое место цели моделирования. Тогда получится следующая классификация:

• * дескриптивные (описательные) модели;
• * оптимизационные модели;
• * многокритериальные модели;
• * игровые модели;
• * имитационные модели.

Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах:

• 1. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д., т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить. Дескриптивными будет в нашем курсе:
  • · модель падения парашютиста,
  • · модель распространения тепла в стержне,
• 2. В некоторых случаях мы можем воздействовать на процесс, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс. В нашем курсе мы будем использовать оптимизационные модели при решении экономических задач.
• 3. Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.). С одной стороны питание должно быть как можно полезнее, с другой стороны - как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.
• 4. Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и при этом учитывать возможную реакцию противника. При этом используется довольно сложный раздел современной математики - теория игр. Она изучает методы принятия решений в условиях неполной информации.
• 5. Имитационные модели. Часто бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например - моделирование движения молекул в газе. Каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. В данном случае имитационное моделирование применяется для описания свойств большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто сформулировано. Тогда математическое описание сводится к статистической обработке результатов моделирования. В нашем курсе мы будем рассматривать метод Монте-Карло, основанный на моделировании случайных величин.