Материал: Компьютерное математическое моделирование

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения данного курса является знакомство учащихся еще с одним методом познания окружающей действительности - методом компьютерного математического моделирования. Технология компьютерного моделирования обогащает процесс обучения новыми средствами и методами решения реальных практических задач, открывая широкие возможности для осознания связи между информатикой, с одной стороны, и математикой, физикой, экономикой и другими науками с другой стороны.

Отметим, что, говоря о математических моделях, мы имеем в виду сугубо прикладной аспект. В современной математике есть достаточно формализованный подход к понятию «математическая модель». Внутри него вполне допустимо игнорировать вопрос о связи математики с физической реальностью. В этом подходе моделями являются, например, система целых чисел, система действительных чисел, евклидова геометрия, алгебраическая группа, топологическое пространство и т.д. К исследованию таких формальных моделей вполне можно подключить компьютеры, но все равно это останется «чистой» математикой. В данном курсе термин «математическая модель» увязывается с некоторой предметной областью, сущностью окружающего мира.

Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

В данной программе предполагается знание основ математики:

• * теории дифференциальных уравнений;
• * теории аппроксимации функций,
• * аналитической геометрии на плоскости и в пространстве;
• * математической статистики;
• * численных методов:

a) решения алгебраических и трансцендентных уравнений;

b) решения систем линейных алгебраических уравнений;

c) интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши).

ПОНЯТИЕ "МОДЕЛЬ"

С понятием "модель" мы сталкиваемся с раннего детства: игрушечный автомобиль, самолет, кукла…Это модели реальных объектов, играющих большую роль в воспитании.

Приведем несколько примеров, поясняющих, что такое модель, a уж потом, когда некоторое интуитивное представление о понятии «модель» сформируется, дадим определение.

• 1. Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает макет этого здания, чтобы посмотреть, как он будет выглядеть.
• 2. Для того, чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на котором стрелочками изображены направления движения крови.
• 3. Перед тем как запустить в производство новый самолет новой серии, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции.
• 4. Художник изобразил картину, изображающую бушующее море.

Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление некоторого реального объекта с другим, его заменяющим (оригинал - копия): реальное здание - макет здания; серийный самолет - единичный самолет в трубе; система кровообращения - схема на плакате; бушующее море - картина, его изображающая. Причем во всех случаях предполагается, что какое-то свойство (свойства) сохраняется при переходе от исходного объекта к заменяющему или по крайней мере позволяет судить об исходном свойстве.

• 1. Хоть здание-макет и много меньше настоящего, но оно позволяет судить о его внешнем виде.
• 2. Хоть плакат и не имеет ничего общего с тканями и системами живого организма, но он позволяет судить о том, откуда и куда течет кровь.
• 3. Хоть самолет, находящийся в аэродинамической трубе, и не летит, но напряжения, возникающие в его корпусе, соответствуют условиям полета.
• 4. Хоть картина и море с физической точки зрения не имеют, казалось бы, ничего общего, но эмоции они могут вызвать сходные.

После всего сказанного становится понятным такое определение.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения, исследования) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для целей данного исследования типичные его свойства.

О РАЗНОВИДНОСТЯХ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Процесс построения модели называется моделированием. Существует множество приемов моделирования, которые можно условно объединить в две большие группы:

• 1. материальное (предметное) моделирование;
• 2. идеальное (абстрактное) моделирование.
• 1. К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основными разновидностями материального моделирования являются:
  • а) физическое моделирования
  • в) аналоговое моделирования.
  • а) Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели обратно на объект на основе теории подобия. Вот несколько примеров физических моделей: в астрономии -- планетарий, в гидротехнике -- лотки с водой, моделирующие реки и водоемы, в архитектуре -- макеты зданий, в самолетостроении--модели летательных аппаратов и т. п.
  • в) Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами.

Заметим, что в обоих типах материального моделирования модели являются материальным отражением исходного объекта, причем процесс исследования связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте с ней. Таким образом, материальное моделирование является экспериментальным методом.

2. Идеальное (абстрактное) моделирование принципиально отличается от материального моделирования, поскольку оно основано не на материальной аналогии объекта, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования:

a) интуитивное

b) знаковое.

a) Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека - это интуитивная модель окружающего мира.

b) Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т. д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, с использованием математических методов.

классификация идеальных знаковых моделей

Укрупненная классификация абстрактных (идеальных) знаковых моделей такова:

• 1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются книга по вязанию, правила дорожного движения).
• 2. Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей, основанных на формальных языках над конечными алфавитами, широко использующих те или иные математические методы. Математическая модель может представлять собой систему уравнений, описывающих физические процессы: падение тела с учетом сопротивления воздуха, распространение тепла в стержне и др. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.
• 3. Информационные модели - класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

Граница между вербальными, математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

ПОНЯТИЕ О КОМПЬЮТЕРНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Курс компьютерного математического моделирования рассматривает прикладные математические модели, в реализации которых используются компьютеры. Внутри информатики именно компьютерное математическое и компьютерное информационное моделирование могут рассматриваться как ее составные части. Таким образом, компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически, т.е. использование компьютеров и соответствующих технологий обработки информации стало неотьемлемой и необходимой составляющей работы физика, инженера, экономиста, эколога и т.д.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерного оснащения. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для получения аналитических решений. Аналитические решения (представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако, возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограниченны и, как правило эти методы гораздо сложнее численных. Поэтому при решении сложных математических задач используют численные методы, реализуемые на компьютерах. Моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий и включает численный эксперимент. Но, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как:

• а) компьютеры при математическом моделировании все чаще используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований. Этому служат интегрированные математические пакеты: MatLab, MathCAD, Maple, Mathematica;
• б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ею процесса. Поэтому эту формулу нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. провести «визуализацию» полученного аналитического результата. При этом компьютер - незаменимое техническое средство.