Материал: Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

Пусть θ( x, y, s ) и ζ ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части функции ω( x, z ). Тогда

ω( x, y ) = ϕ( x, y ) + iψ( x, y ) ,

где ϕ( x, y ) =θ( x, y, 0 ), ψ ( x, y ) = ζ ( x, y, 0 ).

лу (1.46), удовлетворяет в этой области условию ω y ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому для

приведения уравнения (1.1) к каноническому виду можно использовать замену переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) – вещественная часть, а

ψ ( x, y ) – мнимая часть функции ω( x, y ).

Примеры

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду: 1. uxx − 2sin xuxy − ( 3 + cos2 x )uyy − yuy = 0 . (1.51)

Решение

В данном случае a11 =1 , a12 = −sin x , a22 = −3 − cos2 x ,

d( x, y ) = sin 2 x + 3 + cos2 x = 4 , ( x, y ) R2 .

Таким образом, уравнение (1.51) имеет гиперболический тип на всей плоскости xOy .

Уравнения (1.19) и (1.20) принимают вид

где C1 и C 2 – произвольные постоянные. Соотношения (1.54) и (1.55) явля-

ются соответственно общими интегралами уравнений (1.52) и (1.53). В уравнении (1.51) произведем замену независимых переменных

21

Подставляя выражения (1.57) – (1.60) в (1.51), получим, что функция v = v( ξ,η) удовлетворяет уравнению

Подставляя (1.62) в (1.61), приходим к каноническому виду уравнения

(1.51):

vξη + 321 ( ξ + η)( vξ + vη ) = 0 .

d( x, y ) = 0 , ( x, y ) R2 .

Таким образом, уравнение (1.63) имеет параболический тип на всей плоскости xOy .

При x = 0 или y = 0 уравнение (1.63) вырождается и не представляет

интереса для исследования. Поэтому в дальнейшем будем считать, что x ≠ 0 и y ≠ 0 .

Уравнение (1.19) принимает вид

22

где C – произвольная постоянная, не равная нулю (так как x ≠ 0 и y ≠ 0 ). В уравнении (1.63) произведем замену независимых переменных

Разделив уравнение (1.72) на x2 y и используя (1.73), приходим к каноническому виду уравнения (1.63):

3. 2 y2 uxx − 2xyuxy + x2 uyy + xux = 0 . (1.75)

Решение

В данном случае

a11 = 2 y2 , a12 = −xy , a22 = x2 ,

23

Таким образом, уравнение (1.75) имеет эллиптический тип на множестве x ≠ 0 и y ≠ 0 , то есть в каждой из областей

Ω1 = {( x,y ): x > 0, y > 0}, Ω2 = {( x,y ): x < 0, y > 0},

Ω3 = {( x,y ): x < 0, y < 0}, Ω4 = {( x,y ): x > 0, y < 0}

плоскости xOy . На осях координат y = 0 и x = 0 уравнение (1.75) вырож-

дается и не представляет интереса для исследования.

Рассмотрим приведение уравнения (1.75) к каноническому виду в лю-

−d( x, y ) = x y .

Всоответствии с изложенной выше теорией будем использовать урав-

нение

и

24

(иными словами, вместо уравнения (1.41) будем использовать уравнение (1.42)). Подставляя (1.76) в (1.88), получаем снова уравнение (1.78) и приходим к замене переменных (1.80). Поэтому при использовании указанной замены переменных уравнение (1.75) имеет в областях Ω2 и Ω4 тот же ка-

нонический вид (1.87), что и в областях Ω1 и Ω3 .

25