Материал: Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

§ 2. Дифференциальные уравнения со многими независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка

ентами уравнения (2.1)). Будем предполагать, что уравнение (2.1) задано в некоторой области Ω Rn , причем ai j( x ) = a j i ( x ) для всех x Ω и

i, j =1,…,n .

Предположим вначале, что коэффициенты ai j постоянны в области Ω. В уравнении (2.1) сделаем линейную замену независимых переменных

полагаем, что преобразование (2.2) неособенное, то есть определитель матрицы C отличен от нуля; при этом

i, j = 1,…,n .

Подставляя (2.3) – (2.5) в (2.1), получим уравнение относительно новой неизвестной функции v( y ):

26

где

i , j=1

Задание 3. Повторить темы: «Квадратичные формы», «Приведение квадратичной формы к сумме квадратов», «Закон инерции квадратичных форм» из курса линейной алгебры [2, гл. 7, § 2, 3, 4].

Легко видеть, что формула (2.7) преобразования коэффициентов

если в ней произвести линейное преобразование независимых переменных

k,l=1

Вкурсе линейной алгебры доказывается, что всегда можно выбрать

(2.9) квадратичная форма (2.8) принимает следующий канонический вид:

при преобразовании независимых переменных y = Cx принимает канониче-

ский вид

Согласно закону инерции квадратичных форм число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов βk зависит только от коэффици-

27

ентов ai j и не зависит от преобразования (2.9). Данный факт позволяет

классифицировать дифференциальные уравнения (2.1) в зависимости от значений их коэффициентов ai j .

Уравнение (2.1) (с постоянными коэффициентами ai j ) называется уравнением эллиптического типа, если все коэффициенты βk , k =1,…,n в

(2.10) отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Уравнение (2.1) называется уравнением гиперболического типа, если все коэффициенты βk отлич-

ны от нуля и все коэффициенты, кроме одного, имеют один и тот же знак, а оставшийся коэффициент имеет противоположный знак. Уравнение (2.1) называется уравнением ультрагиперболического типа, если все коэффициенты βk отличны от нуля и имеется больше одного положительного и

больше одного отрицательного коэффициента. Уравнение (2.1) называется уравнением параболического типа, если один из коэффициентов βk равен

нулю, а все остальные коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Если в уравнении (2.1) коэффициенты ai j переменные, то для любой фиксированной точки x0 Ω уравнение

можно привести к каноническому виду (2.10) с помощью соответствующего линейного преобразования независимых переменных. При этом матрица

данного преобразования и коэффициенты βk будут зависеть от точки x0 .

Говорят, что уравнение (2.1) с переменными коэффициентами ai j = ai j( x ) является уравнением эллиптического (гиперболического, ульт-

рагиперболического, параболического) типа в точке x0 Ω, если соответст-

вующий тип имеет уравнение (2.11) с постоянными коэффициентами ai j( x0 ). Уравнение (2.1) называется уравнением эллиптического (гипербо-

лического, ультрагиперболического, параболического) типа в некоторой подобласти Ω′ Ω, если оно имеет данный тип в любой точке x0 Ω′.

В общем случае в каждой фиксированной точке x0 Ω существует свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение

(2.11) к каноническому виду, и уравнение (2.1) может принадлежать к раз-

личному типу в различных точках области Ω. Возникает вопрос о том, можно ли найти неособенное преобразование независимых переменных (не

обязательно линейное), которое приводило бы уравнение (2.1) к канониче-

скому виду в некоторой окрестности точки x0 Ω, если во всех точках этой окрестности уравнение принадлежит к одному и тому же типу. В случае n ≥ 3 ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный [10, гл. I].

28

Как показано в § 1 настоящего пособия, в случае n = 2 при определенных

предположениях относительно коэффициентов ai j такое преобразование

существует в некоторой окрестности каждой точки области Ω .

Примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассо-

на

u( x ) = f ( x ),

где

−дифференциальный оператор Лапласа, f – заданная функция; примером

уравнения гиперболического типа – волновое уравнение

a > 0 – заданная постоянная); примером уравнения параболического типа – уравнение теплопроводности

Упражнение 3. Объясните, почему уравнение (2.10) является уравнением гиперболического типа, а (2.11) – уравнением параболического типа.

Задачи

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

1.uxx + 2uxy − 8uyy + 2ux + 4uy = 0 .

2.uxx − 4uxy + 4uyy + ux + 3uy = 0 .

3.uxx − 8uxy +17uyy + ux + 2uy = 0 .

Указание. Рассмотреть отдельно приведение данного уравнения к каноническому виду в первой и третьей четвертях, а затем во второй и чет-

29

вертой четвертях плоскости xOy (то есть во введенных ранее областях Ω1 ,

Ω3 и Ω2 , Ω4 ).

Указание. При интегрировании дифференциального уравнения, являющегося следствием уравнения (1.41), использовать формулу

Данная формула остается справедливой и при замене x на комплексную переменную z ; при этом под выражением ln w , где w – комплексная

переменная, не равная нулю, понимается главная ветвь логарифмической функции Ln w , то есть

ln w = ln w + i arg w

(см., например, [4, гл. 1, § 5, гл. 3, § 1, 2]).

7.uxx − 2x uxy = 0 .

8.y uxx + uyy = 0 (уравнение Трикоми).

Ответы

1. Уравнение гиперболического типа на всей плоскости xOy ;

vξη + 19 vξ − 92 vη = 0 , ξ = y − 4x , η = y + 2x . 2. Уравнение параболического типа на всей плоскости xOy ;

vηη + 5vξ + vη = 0 , ξ = y + 2x , η = x . 3. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;

vξξ + vηη + 6vξ − vη = 0 , ξ = y + 4x , η = −x .

30