Материал: Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

ωx + λ1 ( x, y )ωy = 0

(1.33)

имеет аналитическое решение ω = ω ( x, y ) = ϕ( x, y ) + iψ( x, y ),

причем

ω

x + λ2 ( x, y )

ω

y = 0 , ( x, y ) V0 .

(1.34)

Заметим, что ϕ и ψ бесконечно дифференцируемы в области V0

и эти

функции можно записать в виде

ϕ( x, y ) =

1

[ω ( x, y ) + ω( x,y )],

(1.35)

2

ψ ( x, y ) =

1

[ω ( x, y ) − ω( x,y )].

(1.36)

2i

D(ϕ ,ψ)

=

ϕx

ϕy

=

ϕωωx +ϕ

ω

ω

x

ϕωωy +ϕ

ω

ω

y

=

D( x, y )

ψ x

ψ y

ψωωx +ψ

ω

ω

x

ψωωy +ψ

ω

ω

y

=

ϕω ϕ

ω

ωx

ωy

= −

1

ωx

ωy

=

1

(λ − λ )ω

ω

=

ψω ψω

ω

x

ω

y

2i

ω

x

ω

y

2i

1 2 y y

=

− d ω

2

≠ 0 , ( x, y ) V .

a11

y

0

a ω2

+ 2a

12

ω

ω

y

+ a ω2

= 0 .

(1.37)

11 x

x

22 y

a ϕ2

+ 2a

12

ϕ

ϕ

y

+ a ϕ2

= a

ψ 2

+ 2a

12

ψ ψ

+ a

ψ 2

,

(1.38)

11 x

x

22 y

11 x

x y

22

y

a11ϕxψ x

+ a12 (ϕxψ y + ϕyψ x )+ a22 ϕyψ y = 0 .

(1.39)

∂ 2v

∂ 2v

~

A

+

+ B

= 0 .

(1.40)

2

2

11

∂ξ

∂η

Так как d( x, y ) = a2

( x, y ) − a

11

( x, y )a

22

( x, y ) < 0 ,

( x, y ) V , то, со-

12

0

∂ 2v

+

∂ 2v

= F ,

∂ξ 2

∂η2

~

где F = −

B

~

.

A11

x= ϕ ( ξ, η)

y=ψ~ ( ξ, η)

Предположим, что V0 =

1 ×

2 , где

1 ={x : x0 −δ1 < x < x0 +δ1 },

2 ={y: y0 −δ2 < y < y0 +δ2 },

и δ1 и δ2 – достаточно малые положительные постоянные,

такие, что

V0 W и

def

a11( x, y )

> 0 .

ε0 =

inf

( x, y) V0

Пусть D – область в комплексной плоскости C ys , содержащая отрезок

2 , в которой функции a11 ( x, z ),

a12 ( x, z ), a22 ( x, z )

являются аналитиче-

скими по переменной

z при каждом фиксированном

x

1 , и D1 – огра-

ниченная

подобласть

области

D , содержащая отрезок

2 и

такая, что

Пусть α( x, y, s ) и

β ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части

D1 D .

функции a11 ( x, z ) и

a( x, y, s ) = α 2 ( x, y, s ) + β 2 ( x, y, s ) .

Так

как функция a11 ( x, y )

принимает вещественные значения, то

α( x, y, 0 ) = a11 ( x, y ) и β ( x, y, 0 ) ≡ 0 .

Из аналитичности функции a11 ( x, z ) следует, что функция a( x, y, s )

непрерывна по совокупности переменных в замкнутой области

1 ×

D1 , а

точек x

,

y*

и всех ( y, s )

, удовлетворяющих условию

1

2

D

1

( y− y* )2

+ s 2

<δ , выполняется неравенство

при всех

x

1 и z G′, где G′ C ys – некоторая область, содержащая от-

резок

(так как функция d ( x,z )

непрерывна и d( x, y ) < 0 для

x

1 и

2

y

2 ).

Отсюда и из аналитичности коэффициентов a11 ( x, z ),

a12 ( x, z ),

a22 ( x, z ) следует, что при всех x

1 функция λ1( x,z )является аналитиче-

d y

= p( x, y, s ),

(1.43)

d x

d s

= q( x, y, s ),

(1.44)

d x

где p( x, y, s ) и q( x, y, s ) – соответственно вещественная и мнимая части

~

~

система (1.43), (1.44) имеет единственное решение y ( x ), s ( x ) , удовлетво-

ряющее начальным условиям

~

~

) = y0 ,

= 0

y ( x0

s ( x0 )

и определенное на интервале ~

1 = ( x0

− σ, x0 + σ )

1 . Выбирая число δ1

достаточно малым, можно считать, что ~

1 =

1 .

Предположим теперь, что интегрирование уравнения (1.41) приводит к

соотношению

ω( x, z ) = C

(1.45)

(C = C1

+ iC2

– комплексная постоянная), выполняющемуся на множестве

~

~

~

– окрестность точки x0

, содержащая интервал

~

×G , где

1 , G – об-

ласть в

комплексной плоскости C ys ,

содержащая

интервал

2 , причем

вале

~

~

при каждом фиксированном z G , аналитической по переменной z

~

~

и

в области G при каждом фиксированном x

ω z( x, z ) ≠ 0 (1.46)

при

x 1 ,

z = y

2 . Соотношение (1.45) будем называть комплексным

общим интегралом уравнения (1.41).

~

~

~

Пусть z ( x ) = y( x ) + i s ( x ) – решение уравнения (1.41), определенное

на интервале

1 . Заметим, что функция z ( x )

не может тождественно рав-

~

Пусть

~

~

x 1 }

γ = {( y, s ): y = y( x ), s =s ( x ),

которая отвечает решению

~

уравнения (1.41), и пусть

~

z = z ( x )

C – ком-

плексная постоянная, такая, что

~

~

(1.47)

ω( x, z ( x ) ) = C , x 1 .

Дифференцируя тождество (1.47) по x и используя (1.41), имеем:

ω x( x, z ) + ω z( x, z )

d z

=ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z )

~

= 0 ,

d x

~

z= z ( x )

z= z ( x )

x 1 ,

или, что то же самое,

ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z ) = 0 , x 1 , z γ .

(1.48)

~

, лежащий в

Пусть G′′ = G ∩G и γ ′– произвольный участок кривой γ

области G′′. Очевидно, что функция в левой части равенства (1.48) является

аналитической по переменной z при каждом фиксированном

x 1 . Так

как данная функция обращается в нуль в точках кривой γ ′ G′′, то, в силу

ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z ) = 0

,

x

1 ,

z G′′.

(1.49)

Так как область G′′ содержит интервал

2 , то из (1.49) следует, что

ω x( x, y ) + λ1( x, y )ω y( x, y ) = 0

,

x

1 ,

y 2 .

(1.50)