Материал: Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110
дважды непрерывно дифференцируемы в этой области и ϕy ( x, y ) ≠ 0,
ψ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) W0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким |
образом, |
|
через |
точку M0 |
проходят |
две |
характеристики |
||||||||||||||
ϕ ( x, y ) = C1 |
и ψ ( x, y ) = C2 , где C1 |
= ϕ( x0 , y0 ), C2 |
=ψ( x0 , y0 ) . |
ξ =ϕ ( x, y ), |
|||||||||||||||||
Из доказательства |
теоремы |
следует, |
что |
функции |
|||||||||||||||||
η =ψ ( x, y ) являются соответственно решениями уравнений |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ξx + λ1ξy = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.26) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ηx + λ2ηy = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.27) |
||||
в области W0 , а следовательно, и решениями уравнений (1.15) и (1.16) в |
|||||||||||||||||||||
этой области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя (1.26), (1.27), |
|
находим, что |
якобиан системы функций |
||||||||||||||||||
ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D(ϕ ,ψ) |
|
= |
|
ϕx |
ϕy |
|
= |
|
− λ1ϕy |
ϕy |
|
= ( λ − λ )ϕ ψ , |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
D( x, y ) |
|
ψ x |
ψ y |
|
|
− λ2 ψ y |
ψ y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
y |
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
D(ϕ ,ψ) |
|
|
||||||||||||
и, так как λ1 ≠ λ2 , ϕ y ≠ 0 , ψ y ≠ 0 в области W0 , то |
|
≠ 0 в данной об- |
|||||||||||||||||||
|
D( x, y ) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ласти. Поэтому функции ϕ и ψ являются независимыми в области W0 .
Вдальнейшем будем предполагать, что область W0 совпадает с рассмотренной ранее окрестностью V0 точки M0 .
Вуравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных (1.2). При этом, как показано выше, уравнение (1.1) переходит в уравнение (1.10). Так как, в силу теоремы, функции (1.2) являются соответственно решениями
уравнений (1.15) и (1.16), то A11 ( x, y ) = A22 ( x, y ) = 0 для ( x, y ) V0 .
Учитывая, что
ξ |
|
= −λ ξ |
, η |
|
= −λ η |
, λ |
|
+ λ |
|
= |
2a |
12 |
, λ |
λ |
|
= |
a2 |
− d |
= |
a |
|
, |
x |
x |
1 |
2 |
|
2 |
12 |
|
|
22 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 y |
|
2 y |
|
|
|
a11 |
1 |
|
|
a112 |
|
a11 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеем
A12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ξyηx )+ a22 ξyηy =
= [λ1λ2 a11 − (λ1 + λ2 ) a12 + a22 ]ξyηy = − 2d ξyηy . a11
Отсюда следует, что A12 ( x, y ) ≠ 0 в области V0 .
11
Таким образом, при замене независимых переменных (1.2) уравнение (1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом
(канонической формой) уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными:
∂2v = F , (1.28)
∂ξ∂η
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где F = − |
B |
|
~ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2A12 |
|
x=ϕ ( ξ,η) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y=ψ~ ( ξ,η) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведем в уравнении (1.28) замену независимых переменных |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α = 1 |
(ξ +η ), β = |
1 |
|
(ξ −η ) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и положим w ( α, β ) = v( α + β, α − β ) = v( ξ, η). Тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
= |
|
1 |
|
( w |
|
+ w |
|
), v = |
1 |
( w |
|
− w |
|
), |
||||||||||
|
|
|
|
ξ |
|
|
α |
β |
|
|
α |
β |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
η |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
v |
|
|
= |
1 |
|
∂ |
( w |
|
+ w |
|
) = |
1 |
|
( w |
|
|
− w |
|
|
), |
|||||||
|
|
|
ξ η |
2 ∂η |
α |
β |
4 |
|
αα |
ββ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
и мы приходим к так называемой второй канонической форме уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными:
∂ 2 w |
− |
∂ 2 w |
= F |
, |
|
|
|||
∂α 2 |
|
∂β 2 |
1 |
|
|
|
|
где F1 = 4F ξ =α+β .
η = α−β
Б) Уравнения параболического типа
Пусть уравнение (1.1) имеет параболический тип в области W Ω.
Пусть |
M0 |
= ( x0 , y0 ) – |
некоторая фиксированная |
точка области W |
и |
Ω0 W |
– |
окрестность |
точки M0 , в которой |
a11 ( x, y ) ≠ 0 . Так |
как |
d( x, y ) = 0 в области W , то |
|
|
|||
λ1 ( x, y ) = λ2( x, y ) = a12 ( x, y ) a11 ( x, y )
для ( x, y ) Ω0 . Поэтому уравнения (1.26) и (1.27) совпадают и сводятся к одному уравнению
12
ξx + |
a12 |
ξy = 0 . |
(1.29) |
|
|||
|
a11 |
|
|
Так же, как и в случае уравнений гиперболического типа, мы будем |
|||
предполагать, что найдется окрестность V0 Ω0 точки |
M0 , в которой |
||
уравнение (1.19) имеет общий интеграл ϕ ( x, y ) = const , причем функция
ϕ дважды непрерывно дифференцируема в области V0 |
и ϕy( x, y ) ≠ 0 для |
( x, y ) V0 . Таким образом, через каждую точку M0 W |
проходит одна ха- |
рактеристика ϕ ( x, y ) = C1 , где C1 = ϕ( x0 , y0 ) (иногда говорят, |
что через |
|||
точку M0 |
проходят две характеристики, которые совпадают между собой). |
|||
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных |
|
|||
|
|
ξ = ϕ ( x, y ), η = x ; |
(1.30) |
|
при этом |
D(ξ ,η ) |
= −ϕy ≠ 0 в области V0 |
1). |
|
|
|
|||
|
D( x, y ) |
|
|
|
В силу теоремы, функция ξ = ϕ ( x, y ) является решением уравнения
(1.15), и поэтому A11 = 0 в области V0 . Используя (1.12), (1.13), (1.29), (1.30), находим, что
A12 = a11ξx + a12ξy = 0 , A22 = a11 ≠ 0 , ( x, y ) V0 .
Таким образом, при замене независимых переменных (1.30) уравнение (1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом
(канонической формой) уравнений параболического типа с двумя независимыми переменными:
~
где F = − B
a11
∂2v = F ,
∂η2
x= η |
. |
y=ψ~ ( ξ, η) |
|
В) Уравнения эллиптического типа
Предварительно напомним определения и некоторые свойства аналитических функций от одной или двух переменных.
1)В данном случае наряду с заменой переменных (1.30) можно использовать замену
ξ= ϕ ( x, y ) , η = ψ ( x, y ) , где ψ ( x, y ) — произвольная дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция, удовлетворяющая условию |
D(ϕ ,ψ) |
≠ 0 в области V0 (см., напри- |
|
D( x, y ) |
|||
|
|
||
мер, [8, гл. II, § 3]). |
|
|
13
Функция f ( x ), определенная в некоторой окрестности точки x0 R ,
называется аналитической в точке x0 , если существует такое число δ > 0 , |
|
что на интервале (x0 −δ, x0 + δ ) (то есть в δ -окрестности точки |
x0 ) она |
представима в виде степенного ряда |
|
∞ |
|
f ( x ) = ∑ cn ( x − x0 )n , |
(1.31) |
n= 0
где сn – постоянные, называемые коэффициентами данного ряда.
Если функция f ( x ) является аналитической в точке x0 , то можно по- |
||||||
казать, что она бесконечно дифференцируема на интервале (x0 |
−δ, x0 + δ ) |
|||||
и коэффициенты ряда (1.31) имеют вид |
|
|
||||
cn = |
f (n)( x |
0 |
) |
, n = 0, 1,… |
|
|
n! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (1.31) с указанными коэффициентами cn носит название ряда Тей- |
||||||
лора. |
|
|
|
|
|
R , если |
Функция f ( x ) называется аналитической на интервале |
||||||
она является аналитической (аналитична) в каждой точке этого интервала. Рассмотрим теперь понятие аналитической функции
h( z ) = α( y,s ) + iβ ( y, s )
комплексной переменной z = y + i s (здесь α( y,s ) и β ( y, s ) – веществен-
нозначные функции, называемые соответственно вещественной и мнимой частями функции h( z ); i – мнимая единица). В дальнейшем через C ys бу-
дем обозначать комплексную плоскость точек z = y + i s .
Функция h( z ) называется аналитической в области Q C ys , если она
дифференцируема во всех точках этой области. Можно показать, что функция h( z ) является аналитической в области Q тогда и только тогда, когда в
этой области существуют непрерывные частные производные функций α и
β по переменным y и s , связанные соотношениями (условиями) Коши – Римана
αy ( y,s ) = βs ( y,s ), αs ( y,s ) = −βy ( y,s ), ( y, s ) Q
(см., например, [4, гл. 1, § 4]). При этом
h′( z ) =αy ( y,s ) + iβ y ( y,s ) = βs ( y,s ) − iαs ( y,s ).
В теории функций комплексной переменной доказывается также, что аналитическая в области Q функция h( z ) бесконечно дифференцируема в
каждой точке z0 Q и в некоторой окрестности этой точки является суммой своего ряда Тейлора:
14
∞ |
( n) |
( z0 |
) |
|
|
h( z ) = ∑ |
h |
|
( z − z0 )n . |
||
|
n! |
|
|||
n= 0 |
|
|
|||
При этом функции α( y,s ) и β ( y, s ) бесконечно дифференцируемы в области Q [5, гл. VI, п. 3].
Пусть C 2 – двумерное комплексное пространство точек w = x + i σ и z = y + i s . Функция двух комплексных переменных p ( w, z ) называется
аналитической в точке ( w0 , z0 ) = ( x0 + i σ0 , y0 + i s0 ) C 2 , если сущест-
вуют числа ρ1 > 0 и ρ2 > 0 , такие, что при w − w0 < ρ1 , z − z0 < ρ2 она является суммой абсолютно сходящегося двойного степенного ряда [1, § 38]
∞ |
|
|
|
|
|
||||
p( w, z ) = ∑ cmn ( w − w0 )m( z − z0 )n . |
(1.32) |
||||||||
m,n= 0 |
|
|
|
|
|
||||
Здесь cmn – комплексные числа, называемые |
коэффициентами ряда |
||||||||
(1.32). |
|
w − w0 |
|
|
< ρ1 , |
|
z − z0 |
|
< ρ2 анали- |
Можно доказать [6, гл. I, § 4], что при |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
тическая функция p ( w, z ) бесконечно дифференцируема по каждой из пе- |
|||||||||||
ременных w , z и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
mn |
= |
1 |
|
∂ m+ n p ( w |
0 |
, z |
0 |
) |
, m, n = 0, 1,… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m!n! |
∂wm ∂zn |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, ряд (1.32) является обобщением ряда Тейлора на случай функций двух комплексных переменных.
Пусть уравнение (1.1) имеет эллиптический тип в некоторой области W Ω. Тогда d( x, y ) < 0 для ( x, y ) W и функции λ1 ( x, y ) и λ2 ( x, y )
принимают комплексные значения: |
|
λ1 ( x, y) = a12 ( x, y ) + i − d( x, y ) |
, |
a 11 ( x, y ) |
|
λ2 ( x, y) = a12 ( x, y ) − i −d( x, y ) |
; |
a 11 ( x, y ) |
|
при этом λ1 ( x, y ) = λ2 ( x, y ) . В дальнейшем будем считать, что коэффици-
енты a11 ( w, z ), a12 ( w, z ) , |
a22 ( w, z ) являются аналитическими функциями в |
||||
каждой |
точке |
M0 |
= ( x0 , y0 ) W (рассматриваемой |
как |
точка |
( x0 + i 0, y0 + i 0 ) |
пространства C 2 ). Тогда можно доказать (см. |
[7, гл. I, |
|||
15