Материал: Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 апреля 2012 г., протокол № 9

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. М. А. Артемов

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики всех форм обучения.

Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика, 010901 – Механика

2

Предисловие

В настоящем пособии рассматривается одна из наиболее сложных тем курса уравнений математической физики – классификация и приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка.

Изложение материала в пособии опирается на результаты, содержащиеся в курсах математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций одной и многих комплексных переменных. В отличие от ряда общедоступных учебников по уравнениям математической физики значительное внимание в пособии уделено понятиям вещественного, а также комплексного общего интеграла обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используемых соответственно для приведения к каноническому виду уравнений гиперболического и эллиптического типов.

Пособие предназначено для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики. Оно содержит ряд упражнений и задач, решение которых позволит успешно освоить рассматриваемую тему.

§ 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x , y :

венные функции, u = u( x, y ) – неизвестная функция. Функции a11 , a12 , a22

называются коэффициентами уравнения (1.1).

Мы будем предполагать, что: 1) коэффициенты a11 , a12 , a22 непрерыв-

но дифференцируемы в некоторой области Ω R2 и одновременно не обращаются в нуль ни в одной точке этой области; 2) функция B определена при ( x, y ) Ω; 3) функция u принимает вещественные значения и дважды

3

a11 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то указанная окрестность существует в силу непрерывности коэффициента a11 . Если a11 ( x0 , y0 ) = 0 , a 22 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то, меняя местами переменные x и y (то есть используя замену переменных x'= y , y'= x ), получим уравнение того же вида, что и (1.1), в котором коэффициент, иг-

v( ξ,η ) = u( ξ + η, ξ − η) = u( x, y ) . Используя приведенные ниже формулы (1.5) – (1.9) , легко показать, что функция v( ξ,η ) удовлетворяет уравнению

но (в силу непрерывности), и в некоторой окрестности точки ( ξ0 , η0 ).

Задание 1. Повторить теоремы о неявной функции, о разрешимости системы функциональных уравнений и о независимости функций из курса математического анализа [1, § 41, 42].

Пусть ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – функции, дважды непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности G0 точки M0 и такие, что якобиан

отличен от нуля в точке M0 . Заметим, что функции ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) яв-

жества Ω0 ∩Q0 ∩Q0* . Тогда при отображении (1.2) область V0 переходит в

4

являющаяся решением системы функциональных уравнений

ϕ( x, y ) −ξ = 0 ,

ψ( x, y ) −η = 0 .

Посмотрим, какой вид примет уравнение (1.1) в новых независимых переменных ξ , η. Для этого выразим частные производные функции u по

переменным x , y через производные этой функции по переменным ξ , η. В

дальнейшем для краткости будем наряду с обычными обозначениями использовать следующие обозначения для частных производных:

Используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, имеем:

uxy = ∂∂y (vξξx + vηηx ) = (vξξξy + vξηηy )ξx +

+ vξξxy + (vηξ ξy + vηηηy )ηx + vηηx y =

5