Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

Рис. 3.6. Схема скоростей вращающегося тела

Определив значения и , получим, что

, (3.48)

т.е. . (3.49)

Если аналогичным образом рассмотреть вращение твердого тела вокруг осей х и у, то соответственно найдем

; (3.50)

. (3.51)

Следовательно, вихрь вектора скорости жидкой частицы может быть определен вектором угловой скорости

. (3.52)

а модуль этого вектора равен

. (3.53)

Физически неравенство нулю значения в какой-либо точке потока означает, что в этой точке имеет место вращение элементарного объема. Никакого видимого вращения жидкости при этом в этой точке может и не быть. В качестве примера рассмотрим поток, в котором , a . Очевидно, для такого потока , a . Следовательно, это поток вихревой, так как , хотя никакого видимого вращения потока нет. Таким образом, вихрь отражает наличие вращательного движения только для элементарного объема.

Например, наблюдая за движением лодки в воде, легко видеть вихри, образующиеся за кормой лодки. Но, согласно введенному определению вихря, вихревое движение жидкости будет иметь место не только за кормой лодки, но и в непосредственной близости к корпусу лодки, где скорость изменяется довольно сильно и .

Иногда вихревое движение отождествляют с турбулентным. Это совершенно разные понятия. Вихревое движение может быть и ламинарным и турбулентным, а, в свою очередь, ламинарное и турбулентное (осредненное) движения могут быть как вихревыми, так и безвихревыми.

Если вектор скорости есть потенциальный вектор, то, его можно представить в виде

. (3.54)

Следовательно, проекции скорости и будут равны

. (3.55)

Последнее условие означает, что величина есть потенциал скорости .

Очевидно, что если вектор скорости имеет потенциал, то в соответствии с формулами (3.54) и (3.45) будем иметь

. (3.56)

Такое движение, при котором , называется безвихревым или потенциальным движением жидкисти.

В гидродинамике широко применяется понятие циркуляции скорости. Если и векторном поле скоростей проведем отрезок кривой АВ (рис. 3.7), то криволинейный интеграл

(3.57)

определяет величину циркуляции вектора скорости по контуру s на участке АВ.

Рис. 3.7. Схема циркуляции скорости

Если кривая, по которой определяется циркуляция, замкнутая, то величина циркуляции определяется интегралом по замкнутому контуру

. (3.58)

Легко видеть, что при наличии потенциала скоростей в векторном поле циркуляция скорости на участке АВ определяется разностью значений потенциала скоростей в точках А и В. Действительно, учитывая выражения (3.55), получим

.(3.59)

Когда контур АВ замкнутый и внутри не содержится никаких особенностей, то циркуляция по этому контуру будет равна нулю, так как .

Вихри скоростей образуют векторное поле, поэтому в нем можно получить векторные линии и векторные трубки.

Линия, в каждой точке которой вихри вектора скорости или вектора угловых скоростей вращения частиц касательны к ней, называется вихревой линией.

Уравнение вихревых линий, как следует из выражения (3.12), будет

. (3.60)

Если в пространстве, заполненном вихрями, взять некоторый замкнутый контур (не являющийся вихревой линией) и через каждую точку этого контура провести вихревые линии, то образуется вихревая поверхность. Часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, называется вихревой трубкой. Когда замкнутый контур бесконечно мал, то вихревая трубка называется элементарной.

Из определения вихревой липни и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Следовательно, если ввести понятие о потоке вектора вихря скорости, равном в соответствии с формулой (3.16)

,

то поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность равен нулю.

Из векторного анализа известно, что поток любого вектора через любую замкнутую поверхность, внутри которой нет особенностей, равен нулю. Из этой теоремы векторного анализа вытекает, что и поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность тоже равен нулю

. (3.61)

Выделим в вихревой трубке (рис. 3.8) некоторую замкнутую поверхность, образованную двумя любыми поперечными сечениями и и боковой поверхностью .

Рис. 3.8. Схема вихревой трубки

Так как поток вихря по боковой поверхности равен нулю, то, согласно формуле (3.61), следует

. (3.62)

Из полученного равенства вытекает следующее свойство вихревых трубок, известное в кинематике, как вторая теорема Гельмгольца: поток вектора вихря скорости сквозь произвольно проведенное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки.

Из этой теоремы следует, что поток вихря есть величина, характерная для всей вихревой трубки. Поэтому поток вихря принимают за характеристику вихревой трубки и называют интенсивностью вихревой трубки

. (3.63)

Иногда интенсивность вихревой трубки выражают через угловую скорость следующим образом:

. (3.64)

Если величина вихря постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то вторую теорему Гельмгольца можно записать в виде

. (3.65)

Из этой теоремы вытекают очень важные следствия:

1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, так как в этом сечении скорость вращения частиц должна стать бесконечной, что физически невозможно;

2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца (рис. 3.9), либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.

Рис. 3.9. Схемы вихревых колец

К последнему типу вихрей принадлежат наблюдаемые в природе водяные и воздушные смерчи. Прибор, иллюстрирующий образование вихря, показан на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Прибор для образования вихря

Вращение шкива, имеющего несколько радиальных перегородок, закручивает воздух. В области разрежения, создаваемого воздушным вихрем, вода поднимается и образует искусственный смерч.

В идеальной жидкости при наличии массовых сил, обладающих однозначным потенциалом, интенсивность вихря не меняется со временем. Таким образом, вихри идеальной жидкости не могут менять в пространстве и во времени своей интенсивности. Они должны существовать вечно, они не могут возникать и вырождаться. В действительности, в реальной жидкости из-за наличия вязкости вихри зарождаются и затем диффундируют, т.е. вырождаются.

Из теоретической механики известно, что скорость любой точки М твердого тела определяется геометрической суммой скорости поступательного движения вместе с некоторым полюсом О и скорости вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О, т.е.

, (3.66)

где - угловая скорость вращения;

- радиус-вектор точки М.

Аналогичная теорема, являясь основной теоремой кинематики, имеет место и для скоростей движения элементарных жидких объемов. Эта теорема гласит: скорость движения любой точки жидкой частицы складывается из скорости квазитвердого движения и скорости деформации , т. е.

. (3.67)

Скорость квазитвердого движения, как следует из формулы (3.66), в свою очередь складывается из поступательной скорости и скорости вращения.

Для доказательства этой теоремы определим в данный момент времени поле скоростей в окрестности точки (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Поле скоростей в окрестностях точки

Пусть в точке с координатами и скорости будут иметь значения и .

В соответствии с рядом Тейлора можно найти значение скоростей и в точке , расположенной в окрестности точки . С точностью до малых первого порядка они будут равны

;

; (3.68)

,

где .

Прибавив и вычтя в первом уравнении (3.68) величину

, (3.69)

получим

(3.70)

Для дальнейших преобразований введем следующие обозначения:

;

;

;

;

;