Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

4. Силы, действующие в жидкостях

4.1. Массовые и поверхностные силы

Вследствие текучести (подвижности частиц) в жидкости действуют силы не сосредоточенные, а непрерывно распределенные по ее объему (массе) или поверхности. Существует много различных принципов классификации сил, приложенных к частицам сплошных сред. В зависимости от области приложения силы делятся на внутренние и внешние. По своей природе или по характеру действия силы делятся на массовые (или объемные) и поверхностные.

Массовые, или объемные, силы пропорциональны массе выделенного объема или при постоянной плотности среды пропорциональны объему; они действуют на все частицы среды этого объема. Массовыми, или объемными, силами являются: силы веса, все электромагнитные, электрические объемные силы, в том числе силы Лоренца и силы электростатического притяжения, и различные силы инерции (Кориолисова сила, центробежная сила и др.).

Поверхностные силы действуют лишь на поверхность выделенного объема. Обычно поверхностные силы делятся на две категории: а) поверхностные силы, направленные по нормали к выделенной площадке; б) поверхностные силы, направленные по касательной к этой площадке.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали к элементу поверхности выделенного объема. В движущейся вязкой жидкости имеют место и нормальные, и касательные составляющие поверхностных сил. Последние из них определяют силы трения.

Распределение массовых сил в некотором объеме задается вектором плотности массовой силы, равным пределу отношения главного вектора массовых сил , приложенных к частицам некоторого объема с массой , к этой массе при стремлении последней к нулю, т.е.

. (4.1)

Для характеристики распределения массовых сил обычно пользуются осредненным значением вектора плотности массовых сил, равным отношению главного вектора массовых сил к величине массы, т.е.

. (4.2)

Очевидно, размерность плотности массовой силы будет размерностью ускорения. Действительно

.

4.2. Напряжения поверхностных сил

В отличие от объемных сил, вектор которых для частицы среды определяется однозначно, величина поверхностной силы в точке, в общем случае, зависит от выбора направления элементарной площадки.

Обычно рассматриваются не сами поверхностные силы, а их напряжения, т.е.

, (4.3)

где - главный вектор поверхностных сил, приложенных к некоторой площадке .

Размерность напряжений будет

.

В практике часто пользуются единицей измерения давления, называемой технической атмосферой, которая по величине равна

1 am = 736 мм pт. cm = 10 м вод. cm = 10 000 мм вод. cm.

В технике пользовались размерностью кгс/м² (кгс - килограммсила в старой системе единиц). Очевидно, что

,

поэтому величину давления часто выражают в миллиметрах водяного столба.

В международной системе единиц СИ за единицу давления принимается давление силы в 1 ньютон на 1 кв. метр. Эта единица равна

.

В виду того, что эта единица очень мала, можно применять укрупненные единицы давления: 1 килоньютон на 1 кв. метр (кн/м²), 1 меганьютон на 1 кв. метр (мн/м²) и внесистемную единицу давления бар (бар), равный 10⁵ н/м², а также дольные единицы бара -миллибар (мбар) и микробар (мкбар). Очевидно, что

.

Рассмотрим условие равновесия элементарного жидкого объема, находящегося под действием поверхностных и массовых сил. Для этого в покоящейся жидкости выделим некоторый элементарный тетраэдр с длиной ребер dx, dy, dz (рис. 4.1).

Очевидно, три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях, а четвертая, наклонная грань, является как бы замыкающей. Пусть площади соответствующих граней будут и .

Рис. 4.1. Схема элементарного тетраэдра

По ранее введенному определению поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны произведению двух длин сторон тетраэдра, а массовые силы пропорциональны объему. Следовательно, массовыми силами как величинами третьего порядка малости можно пренебречь по сравнению с поверхностными силами - величинами второго порядка малости.

Согласно основному свойству жидкостей, находящихся в равновесии, поверхностные силы, заменяющие действие отброшенной части жидкости при выделении тетраэдра, будут направлены по нормали к граням тетраэдра. Таким образом, эти силы являются силами давления. Если обозначить величины сил давления, приложенных к граням, и (рис. 4.1), то для сохранения условий равновесия, известных из статики твердого тела, необходимо, чтобы сумма всех внешних сил или сумма проекций всех внешних сил на координатные оси была равна нулю. Для рассматриваемого тетраэдра это условие можно записать в виде

;

; (4.4)

,

где n - орт нормали к наклонной грани.

Если первое уравнение системы разделим на величину площадки , а второе и третье соответственно на и , то получим условие равновесия в величинах напряжений сил давления

Но из рис. 4.1 видно, что , и - проекции наклонной грани на плоскости yОz, xОz и хОy, т.е.

;

; (4.5)

.

Подставив эти величины в правые части предшествующих уравнений, окончательно получим

. (4.6)

Так как при выделении элементарного тетраэдра никаких ограничений относительно его положения в неподвижной жидкости не накладывалось, то из последнего уравнения следует, что в покоящейся жидкости величина напряжения силы давления, называемая гидростатическим давлением в точке, не зависит от ориентации площадки, к которой приложено давление. Приведенные выводы выражают собой известный закон Паскаля, гласящий, что «...давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях». Очевидно, что если давление не зависит от ориентации площадки, проходящей через данную точку, и определяется только положением точки в жидкости, то, следовательно, давление р есть функция только координат: р = f (х, у, z).

Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

4.3. Напряженное состояние

Поверхностные силы, действующие в движущихся сплошных средах, существенно отличаются от поверхностных сил, действующих в покоящейся среде. Это отличие заключается не только в появлении касательных составляющих, которые в покоящейся жидкости отсутствуют, а также и в том, что нормальные составляющие сил изменяют свою величину. Найдем величины, определяющие поверхностные напряжения в некоторой точке сплошной среды. Для этого рассмотрим в движущейся жидкости элементарный тетраэдр с вершиной в точке О (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Расчетная схема элементарного тетраэдра

Площади боковых граней тетраэдра равны , причем индексы означают ось, перпендикулярно которой расположена грань. Наклонная грань имеет площадь, равную ; n - нормаль к этой грани. К каждой из рассматриваемых граней будут приложены поверхностные силы, в общем случае направленные под некоторым углом к грани. Обозначим вектор напряжения поверхностных сил, приложенных к грани, перпендикулярной оси х, через соответственно к граням, нормальным к осям у и z, через и . К наклонной грани приложено напряжение . Как видно из рис. 4.2,

;

; (4.7)

.

Второй индекс у проекций напряжений означает ось, на которую проектируются векторы напряжений , и .

Зная , и в соответствии с выражениями (4.7), можно определить вектор поверхностных сил , приложенный к площадке с любым заданным направлением орта нормали n.

Действительно, написав уравнение движения центра инерции тетраэдра с массой dm, получим

, (4.8)

где - скорость центра инерции тетраэдра;

F - плотность массовых сил.

Члены в уравнении, содержащие элементарную массу, являются величинами третьего порядка малости, в то время как остальные - второго порядка малости. Поэтому величинами, содержащими dm, пренебрегаем. Получим

. (4.9)

Из рис. 4.2 видно, что

;

; (4.10)

,

поэтому

, (4.11)

где ;

; (4.12)

.

Используя формулу (4.11), можно получить проекции вектора напряжений поверхностных сил, приложенных к площадке с любым заданным направлением n, на координатные оси х, у и z:

;

; (4.13)

;

Из выражений (4.7) и (4.11) видно, что напряжение в точке определяется совокупностью величин

. (4.14)

Таблица величин, определяющих напряженное состояние в точке, называется тензором напряжений. Составляющие будем называть компонентами тензора напряжений или просто компонентами напряжений.

Из рис. 4.2 видно, что диагональные составляющие тензора есть нормальные составляющие напряжений поверхностных сил, а - касательные составляющие напряжений.