Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона

Рассмотрим механику переноса количества движения, вследствие которого возникают поверхностные силы трения в движущихся жидкостях и газах. В отличие от идеальных жидкостей, в которых имеют место только нормальные составляющие поверхностных сил, в реальных жидкостях наличие вязкости вызывает появление касательных составляющих и изменяет величину нормальных составляющих.

В покоящейся жидкости, а также в жидкости, совершающей поступательное движение или вращающейся как одно целое, наличие вязкости не вызывает касательных сил, а нормальные составляющие могут определяться так же, как и для идеальной жидкости.

Вязкость вызывает появление внутреннего трения только в том случае, когда происходит движение частиц жидкости относительно друг друга. Если вспомнить, что по первой теореме Гельмгольца скорость частицы складывается из поступательной, вращательной и деформационной составляющих, то, следовательно, внутреннее трение в жидкости может возникать только при наличии деформации жидкого объема. Тогда естественно, что компоненты напряжения поверхностных сил должны зависеть от составляющих скоростей деформации.

Еще Ньютон показал, что в случае движения реальной жидкости параллельно некоторой плоскости касательное напряжение между двумя слоями, отнесенное к единице длины, будет пропорционально производной от скорости по нормали к направлению движения

. (5.30)

Если задать прямолинейное движение в плоскости ху параллельно оси x, то тогда величина будет являться одной из компонент напряжения и будет равна

, (5.31)

при направлении движения параллельно оси у получим

. (5.32)

Следовательно, при произвольном движении в плоскости ху напряжение сил трения, равное одной из касательных компонент , входящих в тензор напряжений, будет равно

. (5.33)

Соответственно для плоскостей xz и уz получим

; (5.34)

. (5.35)

Соотношения (5.33) - (5.35) являются обобщением формулы Ньютона (5.30) и, таким образом, выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений.

Если касательные напряжения выражать через скорости скашивания углов, то обобщенный закон Ньютона будет гласить, что в общем случае касательные напряжения будут пропорциональны скорости скашивания углов. Коэффициенты пропорциональности во всех случаях являются коэффициентами вязкости. Обобщенный закон Ньютона и многочисленные последующие опыты позволяют сделать вывод о том, что при не очень больших градиентах скоростей компоненты тензора напряжений являются линейными функциями от составляющих тензора скоростей деформации. Так как в гидромеханике обычно рассматриваются изотропные жидкости, то можно считать, что коэффициенты этих функций не зависят от выбора системы координат.

. (5.25)

Из последнего условия видно, что массовые силы имеют потенциал U и проекции массовых сил можно выразить через потенциал в виде

(5.26)

Тогда уравнение (5.24) запишется в виде

. (5.27)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии только в том случае, если массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию (5.26).

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. Если в уравнении (5.24) положить , то уравнение поверхности уровня будет

, (5.28)

или . (5.29)

Для нахождения нормальных составляющих напряжений необходимо, кроме обобщенного закона Ньютона о линейности связи напряжений и скоростей деформации, сделать еще допущение о том, что компоненты нормальных напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к нормальным напряжениям, не зависящим от выбора направления площадки. Обозначим эти не зависящие от направления площадки напряжения временно буквой А. Тогда компоненты нормальных напряжений

. (5.36)

При этом и отличны от нуля только в вязкой жидкости. Если линейную связь между величинами , и соответствующими компонентами тензора скоростей деформаций представить в виде

, (5.37)

то выражения для запишутся

(5.38)

Величина А, не зависящая от выбора направления площадки, т.е. одинаковая для всех нормальных компонент напряжения, может быть найдена из соотношений (5.38)

. (5.39)

Если (как и в идеальной жидкости) принять для вязкой жидкости или газа допущение, что давление в точке есть взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в этой точке, то

, (5.40)

и величина А будет равна

. (5.41)

Подставив найденное значение для А в соотношения (5.38), окончательно получим выражение обобщенного закона Ньютона для нормальных составляющих напряжений

(5.42)

Таким образом, соотношения (5.33) - (5.35) и (5.42) выражают обобщенный закон Ньютона для связи напряжений и скоростей деформаций.

Жидкости, у которых связи компонентов тензора напряжения и компонентов тензора скоростей деформации выражаются соотношениями (5.33) - (5.35) и (5.42), называются ньютоновскими или просто вязкими жидкостями. Опытом установлено, что эти соотношения сохраняются для всех газов и большинства реальных жидкостей, таких как вода, спирты, керосин, жидкие металлы, многие масла.

5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости

Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае плотность и вязкость будут величинами постоянными.

Подставим выражения компонент напряжений в соответствии с формулами (5.33) - (5.35) и (5.42) в уравнения в напряжениях (5.11) и, учитывая, что для несжимаемой жидкости

, (5.43)

получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости. Так, для проекции на ось х найдем

(5.44)

Проделав аналогичные преобразования с двумя другими уравнениями (5.11), будем иметь систему уравнений

(5.45)

где - оператор Лапласа.

Уравнения (5.43) и (5.45) представляют собой замкнутую систему с четырьмя неизвестными и р. Величины и , а также проекции массовых сил X, У и Z должны быть заданы.

Вспоминая выражение для ускорения (3.10), видим, что уравнения (5.45) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. В векторной форме они имеют вид

, (5.46)

где - вектор с проекциями и .

Уравнения (5.45) впервые были получены в 1845 г. Сто-ксом и поэтому часто называются уравнениями Стокса.

Для решения системы (5.45) следует задать граничные условия. При наличии же локальных составляющих ускорения, т.е. в нестационарном потоке, необходимы и начальные условия.

Начальные условия ставятся так же, как и для идеальной жидкости, в виде распределения скоростей во всей рассматриваемой области в момент времени , т.е. задается вид функций

.

Граничные условия как с математической, так и чисто физической стороны имеют весьма важное значение. Различие между движением идеальной и реальной жидкостями определяется не только различием самих уравнений, но и видом граничных условий. Обычно граничные условия задаются на поверхности обтекаемого тела и на бесконечности, в невозмущенной жидкости. На бесконечности, как правило, считают известными величины скорости и давления, а для внутренней задачи - расход жидкости.

Вид граничных условий на поверхности зависит от того, движется ли тело в потоке или тело неподвижно, а поток на него набегает. Рассмотрим отдельно значение нормальной и касательной составляющих скоростей на поверхности обтекаемого тела.

Граничные условия для нормальной составляющей определяются непроницаемостью твердой стенки. Так как через твердую стенку тела жидкость не перетекает, то эту стенку можно считать нулевой линией тока при движении как идеальной, так и реальной жидкостей. Отсутствие перетекания через линию или поверхность тока и есть граничное условие для нормальной составляющей скорости.

Граничное условие для касательной составляющей определяется из условий прилипания к стенке частиц жидкости или газа вследствие наличия вязкости, т.е. скорость жидкости на поверхности неподвижного обтекаемого тела должна равняться нулю, а для движущегося тела она должна быть равна скоростям соответствующих точек движущейся поверхности.

Для разреженных газов длина свободного пробега молекулы l не очень мала по сравнению с характерным размером b обтекаемого тела, т.е. , что наблюдается в некоторых вакуумных установках и в атмосфере на высоте 100 - 140 км. В этом случае, на поверхности тел происходит не полное прилипание, а течение со скольжением. Следовательно, граничные условия для касательной составляющей будут другие.

Часто тип граничных условий для любого уравнения в частных производных, называют именами известных ученых: Дирихле, Неймана или Робина. Условие Дирихле соответству ет случаю, когда на границе замкнутой области задано значение искомой функции, т.е. и = f. Если на границе замкнутой области задано значение не самой искомой функции, а лишь ее производной по нормали, т.е. ди1дп= f , то такое граничное условие называют условием Неймана. Смешанные граничные условия Дирихле и Неймана в виде ди / дп + ku = f , где k > 0, носят название граничного условия Робина.