Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

6. Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред

6.1. Основная формула гидростатики

Для вывода основного уравнения гидростатики, устанавливающего зависимость давления в точке от характера действующих в жидкости массовых сил, рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, выделенного внутри покоящейся жидкости (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Схема для вывода дифференциальных

уравнений равновесия жидкости

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения и т.п. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия, которое называют относительным покоем.

В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис. 6.1). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление р есть функция координат x, y и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления. При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата x на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др /дх) dx, поэтому давление в точке N равно р + (др /дх) dx, где др /дх - градиент давления вблизи точки М в направлении оси x. Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси х, например в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину

. (6.1)

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, умноженной на площадь грани: .

Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и др/дz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде

(6.2)

Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю, т.е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М

(6.3)

Эта система дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями равновесия Эйлера. Для практического пользования удобнее вместо приведенной системы уравнений иметь одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений на dx, второе - на dy, третье - на dz и, сложив все три уравнения, получим

(5.68)

дает уравнение поверхности эллиптического параболоида, а изотахи (линии равных скоростей) - подобные друг другу эллипсы, т.е. эллипсы с одинаковыми отношениями полуосей.

Из уравнения (5.68) видно, что скорость будет максимальной на оси трубы, т.е. при у = z = 0, и она равна

.

Зная можно скорость по формуле (5.68) представить в безразмерном виде

.

Величина объемного расхода через трубу эллиптического сечения легко определяется интегрированием скорости (5.68) по сечению, т.е.

.

После вычисления интеграла получим

.

Разделив объемный расход на площадь поперечного сечения трубы , определим среднюю величину скорости

.

Следовательно, так же как и для круглой трубы средняя скорость равна половине максимальной.

Из последней зависимости можно найти выражение для сопротивления и, используя выражение (5.61), получить закон сопротивления.

Легко видеть, что все формулы, полученные для трубы эллиптического сечения при а = b переходят в соответствующие зависимости для круглой трубы.

. (6.4)

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т.е. функции р (х, у, z), поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде

. (6.5)

Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy и dz в общем случае равновесия жидкости.

Рассмотрим распространенный частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. Если направить ось z вертикально вверх, то Х = У = 0, Z = - g и, следовательно, для этого частного случая равновесия жидкости из дифференциальных уравнений будем иметь: dp = - gdz. После интегрирования получим

p = - gz + C. (6.6)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности, для которой (рис. 6.2) при , откуда . При этом

или .

Рис. 6.2. Схема для вывода основного уравнения

гидростатики

Заменяя в предыдущем уравнении разность на h – глубину расположения точки М, находим

. (6.7)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; по нему можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Величина является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

6.2. Определение сил давления покоящейся среды на плоские и криволинейные стенки

В общем случае на поверхность s, погруженную в жидкость, будет действовать совокупность сил гидростатического давления, которая в соответствии с законами статики твердого тела может быть приведена к одной силе, равной главному вектору сил давления

,

и к одной паре с моментом, равным

.

Найдем величину главного вектора, приложенного к некоторой криволинейной поверхности (рис. 6.3), погруженной в жидкость.

Рис. 6.3. Схема сил, воздействующих

на криволинейную поверхность

Вначале рассмотрим элементарную силу , действующую на площадку ds. Очевидно, сила будет направлена по нормали к площадке ds и равна

.

Проекции этой силы на оси х, у и z (рис. 6.3) представляют собой горизонтальные и вертикальную составляющие, величины которых соответственно равны

;

;

.

так как проекциями орта нормали на оси координат являются косинусы углов между нормалью и соответствующей осью координат.

Из рис. 6.3 видно, что

; (6.8)

Тогда составляющие силы давления, действующей на площадку ds, можно представить в виде

;

;

.

Если воспользоваться формулой (6.7) и пренебречь атмосферным давлением, то последние зависимости примут вид

;

;

.

Напомним, что индекс у буквы s означает проекцию площадки ds на плоскость, перпендикулярную соответствующей оси.

Компоненты сил давления на всю рассматриваемую криволинейную поверхность, погруженную в жидкость, будут равны

(6.9)

где U - объем жидкости, заключенный между рассматриваемой криволинейной поверхностью и поверхностью жидкости.

На рис. 6.3 этот объем ограничен поверхностью AA'BB'CC'. Таким образом, вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равняется весу жидкости в объеме цилиндрической поверхности с вертикальными образующими, ограниченной снизу криволинейной стенкой и сверху поверхностью жидкости.

Горизонтальные составляющие суммарной силы давления на криволинейную стенку, как видно из формул, тоже определяются через веса некоторых объемов.

Главный вектор сил давления на стенку по величине равен

.

Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, определяется для криволинейной стенки довольно сложно.

Найдем главный вектор и центр давления для плоской стенки s, расположенной под некоторым углом к горизонту (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Главный вектор и центр давления

для плоской стенки

Для этого проведем плоскость Q, включающую стенку s, до ее пересечения с поверхностью жидкости и расположим две системы координат, имеющих общее начало в точке О, так, чтобы плоскость хОу одной системы лежала на поверхности жидкости, а плоскость системы x'Oy' совпадала с плоскостью Q. Если оси у и у' совместим с прямой, образованной от пересечения плоскости Q с поверхностью жидкости, то угол между осями х и x' будет равен углу наклона плоскости стенки. Ось z' будет нормалью к Q и s. Тогда в соответствии с выражениями (6.8) получим

;

;

.

Откуда величина главного вектора будет равна

.

Последний интеграл равен площади стенки s, умноженной на координату центра инерции или центра тяжести этой площадки. Следовательно, окончательно получим