Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

. (6.10)

Так как , то .

Это означает, что сила давления жидкости на плоскую стенку определяется весом цилиндрического столба этой жидкости с площадью основания, равной площади стенки, и высотой от поверхности до центра тяжести стенки. Если воспользоваться последней формулой, то следует, что главный вектор сил давления на плоскую стенку по величине равен произведению гидростатического давления в центре тяжести стенки на ее площадь.

Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, в общем случае не совпадающая с центром тяжести, может быть определена на основании законов статики твердого тела. Известно, что момент главного вектора системы сил равен сумме моментов составляющих сил, т.е. если обозначим координаты центра давления и , то уравнения моментов относительно осей координат будут

;

;

.

Из системы этих трех уравнений можно найти три неизвестные величины: и .

Нетрудно показать, что центр давления расположен ниже центра тяжести. Если в последнем соотношении заменим р по формуле (6.10) и разделим обе части на , то получим

.

Как известно, интеграл, стоящий в правой части, называется моментом инерции площади относительно оси Оу. Если представить соответствующий момент инерции относительно параллельной этой оси прямой, проходящей через центр тяжести, в виде и вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси, то можно написать неравенство

.

Сократив обе части неравенства на , окончательно получим .

6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости

Ранее было рассмотрено в основном равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы - ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно. Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхностей уровня при покое жидкости в неподвижном сосуде, т.е. от горизонтальной плоскости. При определении формы и положения свободной поверхности жидкости, находящейся в относительном покое, следует руководствоваться основным свойством всякой поверхности уровня, которое заключается в следующем: равнодействующая массовых сил всегда действует нормально к поверхности уровня. В самом деле, если бы равнодействующая массовая сила действовала под некоторым углом к поверхности уровня, то касательная составляющая этой силы вызывала бы перемещение частиц жидкости вдоль поверхности уровня. Однако в состоянии относительного покоя отсутствуют какие-либо перемещения частиц жидкости как относительно стенок сосуда, так и друг относительно друга. Следовательно, единственно возможным направлением равнодействующей массовой силы является направление, нормальное к свободной поверхности, а также и к другим поверхностям уровня.

Поверхности уровня не могут между собой пересекаться, иначе по линии пересечения двух таких поверхностей был бы получен ряд точек, давление в которых в одно и тоже время имело бы два разных значения, что невозможно.

Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно и в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением a. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению a и силы тяжести (рис. 6.5).

Обозначив вектор равнодействующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через , получим

_{, (6.11)}

где и - векторы единичных сил инерции и тяжести.

Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны к этим силам, поэтому

Рис. 6.5. Силы, действующие при относительном покое

жидкости и прямолинейном равноускоренном

движении сосуда

все поверхности уровня, в том числе свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, т.е. нужно знать объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В, Н и первоначальный уровень жидкости h.

Возьмем, например, около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с образующей, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

, (6.12)

где последний член представляет собой полную массовую силу, действующую на выделенный объем жидкости, а l - расстояние от точки М до свободной поверхности. После сокращения на dS получим

. (6.13)

В частном случае, когда а = 0 и соответственно j = g, формула (6.13) превращается в основное уравнение гидростатики.

То же уравнение (6.13) можно получить интегрированием дифференциального уравнения (6.5). Для этого одну из координатных осей удобнее направить вдоль линии действия результирующей массовой силы j. Приняв такое направление, например, для оси z, будем иметь:

. (6.14)

Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:

, (6.15)

или после интегрирования и определения постоянной подстановкой параметров свободной поверхности

. (6.16)

Полученное уравнение совпадает с формулой (6.13).

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью w вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется; в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок - повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 6.6).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы - сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w²r.

Рис. 6.6. Поверхность жидкости при вращении открытого

сосуда вокруг вертикальной оси

Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому наклон этой поверхности с увеличением радиуса возрастает. Найдем уравнение кривой АОВ в системе координат z и r с началом в центре дна сосуда. Учитывая, что сила j является нормалью к кривой АОВ, из чертежа находим

tg a = dz/dr = w²r/g, (6.17)

откуда dz = w²rdr/g, или после интегрирования

z = w²r²/(2g) + C. (6.18)

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = С, поэтому окончательно будем иметь:

, (6.19)

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости - параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Пользуясь уравнением (6.19), можно определить положение свободной поверхности в сосуде, например максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости w. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен ее объему во время вращения.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в виде функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (6.19) будем иметь

.

После сокращений получим

. (6.20)