Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-Стокса для ламинарного движения в цилиндрических трубах

В качестве первого примера интегрирования уравнения Стокса рассмотрим ламинарное стабилизованное движение несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе.

Под стабилизованным движением будем понимать такое стационарное движение, при котором скорость потока и профиль скоростей не зависят от продольной координаты. Следовательно, если направление движения совпадает с осью х, то проекции скоростей на оси у и z будут равны нулю, а проекция скорости на ось х будет зависеть только от у и z. Такое движение будет иметь место на плоской стенке или в цилиндрической трубе на значительном расстоянии от входа.

Если направление потока в трубе произвольного сечения совместить с осью х и считать, что для стабилизованного движения составляющие скоростей и отсутствуют, то в общем случае будем иметь

и .

Используя уравнение неразрывности движения, получим, что ди / дх = 0 и, следовательно, скорость в трубе не зависит от координаты х. Последнее является условием для стабилизованного движения.

Уравнение Стокса после подстановки значений , и и пренебрежения массовыми силами будет иметь вид

;

и .

Из последних уравнений следует: 1) величина давления не зависит от поперечных координат у и z и есть функция только координаты х, т.е., в частности, в круглой трубе давление меняется только вдоль оси, а следовательно, постоянно в каждом сечении и не зависит от радиуса; 2) так как левая часть первого уравнения зависит только от у и z, а правая часть не зависит ни от у, ни от z, то, следовательно, и правая и левая части этого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т.е.

dp / dx = const. (5.47)

Таким образом, уравнение Стокса для стабилизованного движения жидкости в цилиндрической трубе произвольного сечения или в более общем случае для прямолинейно параллельного стабилизованного движения вдоль оси х будет иметь вид

. (5.48)

Если прямоугольную систему координат заменить на цилиндрическую, в которой и , то уравнение (5.48) в цилиндрической системе координат будет

. (5.49)

Вид решения уравнений (5.48) или (5.49) определяется граничными условиями, задаваемыми формой поперечного сечения трубы. Для трубы круглого поперечного сечения, ось которой совпадает с осью х, естественно пользоваться уравнением в цилиндрической системе координат (5.49).

Предполагая, что поток обладает осевой симметрией

,

получим уравнение (5.49) в виде

(5.50)

Так как

,

то уравнение (5.50) окончательно примет следующий вид

. (5.51)

После последовательного двойного интегрирования получим общее решение уравнения (5.51)

. (5.52)

Произвольные постоянные и определяются из граничных условий. Для круглой трубы с радиусом они могут быть записаны так: при , а при r = 0 u - конечная величина.

Подставив r = 0 в уравнение (5.52), получим при бесконечное значение скорости на оси. Следовательно, для удовлетворения второго граничного условия необходимо положить .

Используя первое граничное условие, найдем

.

Таким образом, для круглой трубы распределение скоростей по сечению будет параболическим, т.е.

. (5.53)

По уравнению (5.47) можно написать

, (5.54)

где - перепад давления в трубе длиной l.

Определим среднюю расходную и максимальную скорости в круглой трубе. Объемный расход Q

(5.55)

или, подставляя u из формулы (5.53) и используя выражение (5.54), получим

. (5.56)

Формула (5.56) выражает известный закон о том, что секундный объемный расход жидкости при установившемся ламинарном движении несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе круглого сечения пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса (или диаметра). Этот закон часто называется законом Пуазей-ля, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам.

Величина средней расходной скорости , будет

. (5.57)

Наибольшее значение скорости , как видно из выражения (5.53), будет на оси трубы, т.е. при r = 0, и равно

. (5.58)

Из сравнения двух последних формул получим очень важное свойство ламинарного установившегося движения жидкости в круглой трубе: максимальная скорость на оси трубы в два раза больше средней расходной скорости, т.е.

. (5.59)

Это свойство можно использовать при нахождении объемного расхода, определяя не весь профиль скоростей, что необходимо в соответствии с формулой (5.55), а лишь значение скорости на оси трубы. Тогда формула для расхода будет

.

Если отнести значение скорости в любой точке к максимальной скорости на оси трубы, то можно вместо выражения (5.53) получить безразмерный профиль скоростей

(5.60)

в виде параболоида вращения с меридианальным сечением в форме параболы.

Найдем величину сопротивления при движении жидкости в трубе. Для установившегося движения в цилиндрических трубах сопротивление на данном участке определяется перепадом давления на этом участке либо по формуле

, (5.61)

либо по формуле

, (5.62)

где и - коэффициенты сопротивления.

Приравнивая правые части равенств (5.61) и (5.62) и имея в виду, что , получим отношение между коэффициентами и в форме

. (5.63)

Определяя из формулы (5.57) и приравнивая полученное значение правой части (5.61), найдем

,

откуда следует, что величина коэффициента сопротивления Л

, (5.64)

где - число Рейнольдса, составленное по расходной скорости и диаметру трубы d.

Выражение коэффициентов сопротивления как функций числа Рейнольдса или называется законом сопротивления ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Зная или , легко найти перепад давления по выражениям (5.61) и (5.62), а следовательно, и величину мощности, необходимой для перекачки заданного расхода Q (м³ / с). Формула мощности имеет вид

.

Для решения задачи о продольном движении жидкости между двумя соосными цилиндрами с радиусами и постоянные и в уравнении (5.52) определим, исходя из следующих граничных условий: величина скорости на стенках цилиндров равна нулю, т.е. при и .

Тогда, считая получим формулу распределения скоростей

. (5.65)

Величину расхода и средней скорости найдем в виде

;

,

откуда величина перепада давления будет

. (5.66)

Для очень узких кольцевых щелей, т.е. при малой разности радиусов, допустимо щель считать ограниченной параллельными плоскостями. Тогда формула (5.66) значительно упрощается и принимает вид, очень удобный для практических расчетов

, (5.67)

где - ширина щели.

Принимая для потока между соосными трубами выражение перепада давления по формуле

,

получим из выражения (5.67) закон сопротивления для ламинарного движения в щели между соосными цилиндрами

,

где .

Существует также точное решение для щели, образованной не концентрическими цилиндрами. Не рассматривая здесь довольно громоздких решений, приведем лишь приближенную формулу для сопротивления при цилиндрах с мало отличающимися радиусами

,

где e - эксцентриситет;

s - ширина щели, которая была бы при отсутствии эксцентриситета.

Результаты многочисленных опытов при ламинарном установившемся движении в трубах круглого и кольцевого поперечного сечения хорошо совпадают с соответствующими данными, полученными по вышеприведенным формулам.

Уравнение (5.58) было решено и для труб с эллиптическим, прямоугольным и треугольным поперечными сечениями. Приведем без доказательства некоторые формулы для ламинарного стабилизованного движения в трубах эллиптического сечения.

Если а и b будут полуоси эллипса, а контур трубы в плоскости yz представить в виде , то распределение скоростей в сечении трубы