Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

;

. (3.71)

Тогда уравнение (3.70) будет

, (3.72)

а остальные два уравнения (3.68) после аналогичных преобразований примут вид

; (3.73)

. (3.74)

Первые два слагаемых правой части полученных уравнений можно рассматривать как скорости квазитвердого движения, третьи слагаемые являются скоростями деформации элементарного объема.

Так как, согласно рис 3.11,

, (3.75)

то

;

; (3.76)

.

Для характеристики скорости деформации введем функцию F, равную

, (3.77)

Тогда

;

; (3.78)

.

Используя выражения (3.76) и (3.78), окончательно получим

;

; (3.79)

,

или в векторном виде

, (3.80)

где - скорость поступательного движения;

- скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ;

grad F - скорость чистой деформации.

Скорость деформации жидкой частицы в точке М определяется следующей таблицей:

. (3.81)

Таблица S называется тензором скоростей деформации, a - компонентами или составляющими тензора скоростей деформации.

При этом , расположенные на диагонали таблицы, характеризуют скорости относительного удлинения (сжатия) жидких отрезков, a - скорости перекосов элементарного объема. Рассмотрим детально отдельные составляющие тензора скоростей деформаций.

Возьмем сферическую частицу движущейся жидкости (рис. 3.12) и посмотрим, что с ней произойдет через время dt.

Рис. 3.12. Схема деформации сферической частицы

жидкости

Сферическая частица в момент времени t имела объем , через время dt эта частица может остаться сферической или измениться, но измениться незначительно, ибо время dt очень мало. Пусть - объем эллипсоида с полуосями и с, образовавшегося из сферы за время dt. Найдем изменение объема. Обычно берут относительное изменение объема в единицу времени, т.е. .

Объем шара равен

, (3.82)

объем эллипсоида запишется

, (3.83)

причем его полуоси будут

;

; (3.84)

,

где - изменение скорости по осям координат.

Тогда

. (3.85)

После раскрытия скобок и пренебрежения величинами второго и третьего порядка малости будем иметь

. (3.86)

характеризует собой расходимость вектора скорости. Используя старые обозначения

. (3.87)

получим

. (3.88)

Отсюда видно, что совокупность диагональных составляющих тензора скоростей деформации (3.81) выражает расходимость вектора скорости, характеризующего собой скорость (быстроту) относительного изменения объема жидкой частицы.

Для характеристики компонентов тензора скоростей деформации рассмотрим детально один из них, например . Эта величина характеризует скорость деформации сдвига жидкой частицы в плоскости ху.

Пусть в некоторый момент времени жидкая частица будет иметь в плоскости ху форму квадрата со сторонами dx и dy (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Схема деформации жидкой частицы

Так как скорости в вершинах квадрата будут неодинаковы (рис. 3.13, а), то через единицу времени рассматриваемый квадрат примет форму параллелограмма (рис. 3.13, б). При этом угол сдвига между осью игреков и стороной О'С' будет равен

, (3.89)

а угол между осью иксов и стороной О'А' соответственно

. (3.90)

Так как мы рассмотрели изменение прямого угла СОА за единицу времени, то величина

(3.91)

будет характеризовать скорость изменения первоначального угла АОС. Следовательно,

, (3.92)

т.е. характеризует скорость деформации скашивания угла или сдвига в плоскости ху.

Аналогичным образом можно показать, что и характеризуют скорости деформации сдвига в плоскостях уz и хz.

Таким образом, скорость деформации элементарной жидкой частицы полностью определяется тензором (3.81).

Второй важной кинематической теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку. Докажем эту теорему для более общего случая с такой формулировкой: поток вектора вихря скорости через любую поверхность, опирающуюся на некоторый замкнутый контур, равен циркуляции скорости по этому контуру.

Вначале определим величину циркуляции скорости по некоторому бесконечно малому контуру, который находится в движущейся жидкости, имеющей непрерывно распределенные вихри. Пусть контур ОСВАО (рис. 3.13, а) лежит в плоскости ху и имеет стороны dx и dy. Если в точке О проекции скоростей будут и , то в точках С и А величины скоростей, совпадающих по направлению со сторонами СВ и АВ, равны соответственно

; (3.93)

. (3.94)

Тогда циркуляция по контуру ОСВАО будет равна

(3.95)

или, раскрывая скобки и производя сокращение, получим

. (3.96)

Так как является проекцией вихря на ось z, нормальную к площадке dxdy, то правая часть последнего равенства является потоком вектора вихря скорости через площадку dxdy. Проделав аналогичные вычисления для площадок dxdz и dydz и распространив эти результаты на элементарную площадку , произвольно расположенную в пространстве, получим

. (3.97)

Последнее соотношение означает, что циркуляция по бесконечно малому прямоугольному контуру равна потоку вихря через площадку, ограниченную этим контуром, или интенсивности элементарной вихревой трубки.

Если теперь возьмем произвольный плоский контур с любой конечной площадью, то, разбив, как это показано на рис. 3.14, всю площадь на элементарные прямоугольники и вычислив циркуляцию по контурам этих прямоугольников, в результате суммирования по всей площади получим циркуляцию вдоль всего контура, равную

. (3.98)

Рис. 3.14. Циркуляция скорости через плоский контур

и произвольную поверхность

Полученную формулу можно применить не только для плоской площадки, а и для некоторой произвольной поверхности (рис. 3.14). Разбив эту поверхность на бесконечно большое количество бесконечно малых площадок , получим величину циркуляции для каждой площадки (считая ее плоской), равную

. (3.99)

Суммируя циркуляции по элементарным площадкам, получим циркуляцию по поверхности

. (3.100)

Таким образом, теорему Стокса можно считать доказанной для произвольного контура, а следовательно, и для контура, опоясывающего вихревую трубку.

Формула (3.100) после подстановки выражения для циркуляции (3.57) будет иметь вид

. (3.101)

Заменив вектор скорости на некоторый вектор а, получим известную из векторного анализа формулу Стокса, связывающую интеграл по контуру с интегралом по поверхности, опирающейся на этот контур

, (3.102)

где .