Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

Для потока конечных размеров скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек, т.е.

. (3.19)

Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость , откуда в соответствии с выражениями (3.17) - (3.19) получаем

(вдоль потока). (3.20)

Аналогично уравнению (3.15) можно составить уравнение и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости. В результате будем иметь:

(вдоль потока). (3.21)

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений. Уравнение расхода является следствием общего закона сохранения вещества для частных условий, в частности для условий сплошности (неразрывности) течения.

При наличии источника поток вектора скорости будет составлять

, (3.22)

а при наличии стока

. (3.23)

3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)

На движение сплошных сред распространяются общие законы природы. Среди этих законов особенно важное и наиболее общее значение имеют законы сохранения. В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии. Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.

Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или

. (3.24)

Общий закон сохранения массы применительно к сплошным средам получает свое выражение в уравнении неразрывности или сплошности движения. Для получения этого уравнения при отсутствии источников или стоков массы применим закон сохранения массы к некоторому элементарному объему , движущемуся вместе со средой, имеющей плотность . Так как

(3.25)

то , (3.26)

или . (3.27)

Относительное изменение объема в данной точке за единицу времени равно дивергенции вектора скорости в данной точке, т.е.

. (3.28)

Тогда уравнение неразрывности движения примет вид

. (3.29)

Если плотность зависит и от времени и от координат, т.е. , то

(3.30)

Подставив это выражение в (3.29), получим другой вид уравнения неразрывности (в проекциях на прямоугольные оси)

(3.31)

или

. (3.32)

Последние слагаемые составляют дивергенцию , поэтому уравнение (3.29) в дифференциальной форме имеет вид

. (3.33)

Для стационарного движения, при котором , уравнение неразрывности примет вид

. (3.34)

При наиболее простом случае движения, когда плотность жидкости постоянна и не зависит от координат и времени, т.е. , уравнение неразрывности будет иметь вид

. (3.35)

Уравнение неразрывности (сплошности) также может быть представлено в интегральной форме в виде

, (3.36)

где S - поверхность, ограничивающая объем .

При установившемся движении для элементарной струйки идеальной жидкости уравнение неразрывности может быть представлено также в гидравлической форме в соответствии с выражением (3.15), а для полного живого сечения трубки тока конечных размеров при равномерном распределении параметров среды по сечению - выражением (3.21).

3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения

Напомним некоторые дифференциальные операции с векторами, известные из векторного анализа. Для этого воспользуемся векторным оператором Гамильтона

(3.37)

и проделаем некоторые формальные операции.

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение орт будет

;

, (3.38)

а их векторное произведение равно

;

, (3.39)

поэтому получим следующие операции с оператором .

1. Действие оператора на скалярную функцию , равное

, (3.40)

называется градиентом скалярной фукнции. есть вектор, который обладает, как будет показано далее, некоторыми особенностями, и называется он потенциальным вектором.

2. Скалярное произведение оператора на вектор

(3.41)

есть величина скалярная и называется дивергенцией или расходимостью вектора.

3. Векторное произведение оператора на вектор

(3.42)

есть величина векторная и называется она вихрем или ротором вектора.

Заметим, что скалярное произведение оператора на

(3.43)

есть оператор Лапласса. Применяя этот оператор к скалярной функции , получим

. (3.44)

Пользуясь оператором Гамильтона, легко получить следующие дифференциальные операции второго порядка:

; (3.45)

. (3.46)

Очевидно, что первое выражение обращается в нуль потому, что векторное произведение параллельных векторов ( и ) равно нулю, а второе - обращается в нуль потому, что здесь имеет место скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов: и .

Применим указанные операции в механике сплошных сред. Для определения физического смысла величины вектора рассмотрим поле любой скалярной величины, встречающееся в механике (температура, плотность, давление и пр.). В скалярном поле характерными линиями, определяющими поле, являются линии равных значений рассматриваемой величины. Для температуры это изотермы, для давлений - изобары, для проекций скоростей - изотахи и т.д. В качестве примера на рис. 3.5 приведены изотахи для расходных составляющих скоростей в выходном сечении патрубка турбины.

Рис. 3.5. Изотахи в выходном сечении патрубка турбины

В непрерывном поле скалярной величины через любую точку пространства можно провести линию постоянного значения. При этом в каждой точке скалярного поля значение производной от рассматриваемой величины будет зависеть от выбора направления. По направлениям касательных к линиям постоянного значения производные равны нулю, а по нормали к этой линии производная будет иметь наибольшее значение. Градиент скалярной функции есть вектор, направленный по нормали к линии постоянного значения скалярной функции в сторону увеличения этой функции и равный по величине производной от функции по направлению указанной нормали.

Таким образом, видно, что градиенты скалярного поля составляют векторное поле.

Рассмотрим физический смысл вихря вектора скорости. Из ранее приведенного определения следует, что

. (3.47)

Напомним уже известное понятие вращения твердого тела. Пусть некоторое тело вращается с угловой скоростью вокруг оси z. Тогда из рис. 3.6 видно, что величина скорости точки тела М будет равна , а ее проекции на оси х и у соответственно и .