Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н
2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
ì3x 2 - 3y = 0,
ï
íï3y 2 - 3x = 0.
î
Получаем два |
решения: |
x1 = 0 , |
y1 |
= 0 и x2 = 1, y2 |
= 1. |
||
Следовательно, |
стационарные |
|
точки |
функци |
|||
z = x 3 |
+ y 3 -3xy : M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) . |
|
|
||||
3. |
Вычисляем производные второго порядка: |
|
|||||
|
¢¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢ |
= 6 y . |
|
|
z xx |
= 6x, z xy |
= -3, z yy |
|
|||
4. |
В каждой стационарной точке вычисляем выражение |
||||||
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
2 |
|
|
|
|
z xx |
× z yy - (z xy ) |
|
|
|
|
иопределяем его знак.
Вточке М1(0, 0):
¢¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢ |
|
|
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
2 |
= -6 < 0. |
z xx (0, 0) = 0, z xy |
(0, 0) = -3, z yy |
(0, 0) = 0 Þ z xx |
× z yy - (z xy ) |
|
|||||||||
Следовательно, |
точка М2(1, |
1) |
является |
точкой |
экстремума. |
||||||||
|
|
¢¢ |
= 6 > 0, то M 2 (1, 1) |
− точка минимума. |
|
|
|||||||
Так как z xx (1, 1) |
|
|
|||||||||||
|
Ответ. Функция z = x 3 |
+ y 3 |
-3xy |
имеет две стационарные |
|||||||||
точки M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) . |
В точке |
M 1 (0, 0) экстремума нет, |
|||||||||||
M 2 (1, 1) − точка минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Условия задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
z = x 2 |
- xy + y 2 . |
|
|
2. |
z = x 2 |
- xy - y 2 . |
|
|
||||
3. |
z = x 2 |
- 2xy + 2 y 2 + 2x. |
|
|
4. |
z = x 3 |
+ y 3 - x 2 - 2xy - y 2 . |
||||||
5. |
z = x 3 - 2 y 3 - 3x + 6 y. |
|
|
6. |
z = 4x + 2 y - x 2 - y 2 . |
|
|||||||
7. |
z = x 3 + y 3 -15xy. |
|
|
8. |
z = x 2 |
+ xy + y 2 - 3x - 6 y. |
|||||||
9. |
z = x 2 |
+ 4 y 2 - 2xy + 4. |
|
|
10. |
z = x / y +1 / x + y. |
|
|
|||||
16
Индивидуальные задания для контрольной работы
|
|
|
|
Вариант 1 |
||
1. Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже область определения |
||
функций: |
а) z = |
|
3xy |
; б) |
z = |
y sin x . |
|
2x - 5 y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить приближенно cos 61o × sin 47o .
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2 - e-x).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ex-2y, где x = sin t , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет |
ли данная |
|
функцияu = |
y |
||||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
¶2u |
|
|
¶2u |
|
|
¶2u |
|
|||
указанному уравнению x |
2 |
+ 2xy |
+ y |
2 |
= 0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
¶x |
2 |
|
|
¶x¶y |
|
¶y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 6z - 4x + 8 = 0, M0(2,1,-1);
б) S: 4x2 - 9y2 - 9z2 - 36 = 0, M0(3,0,0).
8. |
Определить градиент и производную |
заданной |
функции |
z = |
ln(x+y) в точке M0(1,3) в направлении |
линииy2 |
= 9x в |
сторону возрастания аргумента x. |
|
|
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = y
x - 2 y 2 - x +14 y .
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x + y - xy в области D: y = x, y = 4, x = 0.
17
|
Вариант 2 |
|
|
||
1. |
Найти и изобразить |
на |
чертеже |
область |
определения |
функций: а) z = arcsin(x - y), |
|
б) z = ln(2 - x - y) + |
x . |
||
2. |
Вычислить приближенно |
u = |
(1,03)2 |
. |
|
30,984 (1,03)3
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2 + y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u= ln(ex + e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции
z= z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 - xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|
|
данная |
функци |
|||
u = ln |
x |
+ x3 - y 3 |
указанному уравнению x |
¶u |
+ y |
¶u |
= 3(x3 - y 3 ) . |
|
|
|
¶x |
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
¶y |
|
|||
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + z2 - 4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2 + y2 - z = 6, M0(1,-1,-1).
8.Определить градиент и производную заданной функцииz = 5x2 - 3x - y - 1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к
т. N(5,5).
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3.
18
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|||
1. |
Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже область определения |
||||
функций: |
а) z = |
y 2 - x 2 |
; б) z = ln(1- x2 - y2) + x - y . |
||||||
2. |
Вычислить приближенно |
3,98 ∙ (1,03)3,98 . |
|
||||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||||
функции z = arcsin |
xy . |
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить значение производной сложной функции |
||||||||
|
u = yx, где x = ln(t - 1), |
y = e |
t |
|
|
||||
|
2 |
при t = 2, с точностью до |
|||||||
двух знаков после запятой. |
|
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить |
значения |
частных производных |
функции |
|||||
z |
= z(x,y) |
, заданной неявно: 3x - 2 y + z = xz + 5 , |
в данной |
||||||
точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
|
2 |
|
¶2u |
|
¶2u |
|
u = ln(x |
+ (y + 1) |
|
) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 3z - xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2 - 9y2 = 36, M0(-3,0,0).
8. Определить градиент и производную |
заданной |
функции |
||
z = x2 + y2 в т. M0(6,-8) в направлении |
линииy = |
- |
2 |
x2 в |
|
||||
|
|
9 |
|
|
сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1 + 15x - 2x2 – xy - 2y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + 8y + 2xy - 4x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 1. 19
|
Вариант 4 |
|
1. |
Найти и изобразить |
на чертеже область определения |
функций: а) z = ln(4 - x2 - y2); |
б) z = y + arcsin(x + 2). |
|
2. |
Вычислить приближенно |
cos59° ∙ sin32°. |
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x - y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ey-2x+2, где x = sin t , |
y = cos t при t = |
p |
, с точностью |
|
|||
|
2 |
|
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez + x + 2y + z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = xy
указанному уравнению y ¶2u = (1 + y ln x) ¶u .
¶x¶y ¶x
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 6z + 4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2 – y + z2 - 6 = 0, M0(1,-1,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции
x
z = arcsin( x + y ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x - x2 - xy - y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 5x2 + y2 - 3xy в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.
20