Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н

Функции

нескольких

переменных: методические

указания

для

организации

самостоятельной

работы

по

дисциплине «Высшая математика» для студентов направления

20.03.01

«Техносферная

безопасность» (профили

«Защита

в

чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности

в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы

обучения

/

ФГБОУ ВО

«Воронежский государственный

технический

университет»;

сост.

И. Н. Пантелеев. Воронеж:

Изд-во ВГТУ, 2018. 42 с.

В

методических

указаниях

приведен

теоретический

материал, необходимый для выполнения заданий и решения

типовых примеров.

Предназначены в качестве руководства для организации

самостоятельной

работы

по

дисциплине«Высшая

математика» по разделу «Функции нескольких переменных»

для студентов 20.03.01

«Техносферная

безопасность» во

2

семестре.

Методические

указания подготовлены

в

электронном

виде и содержатся в файле Vmfmm_FNP _18.pdf.

Библиогр.: 7 назв.

УДК 517.219(07)

ББК 22.1я7

второго порядка включительно функции z = f(x1,x2,…,xn).

План решения.

1.

Чтобы

найти

частную

производную

функции

z = f(x1,x2,…,xn)

по переменнойхк,

фиксируем

остальные

переменные и

дифференцируем f

как функцию

одной

переменной хk.

производные

высших

порядков

вычисляются

2.

Частные

Замечание.

Частные

производные можно обозначать

¢

,

¢

, …,

¢¢

,

¢¢

¢¢

и т. д.

также z x1

z x 2

z xn

z x1x1

, z x1x 2

¢¢

y -1

¢

= y( y -1)x

y -2

.

z xx = ( yx

) x

Частную производную второго порядка

¢¢

вычисляем,

z xy

дифференцируя z ¢x

по у (при фиксированном х), т. е.

¢¢

= ( yx

y -1

¢

= x

y -1

+ yx

y -1

ln x.

z xy

) y

Частную производную второго порядка

¢¢

вычисляем,

z yx

дифференцируя z ¢y

по х (при фиксированном у), т. е.

¢¢

y

¢

y -1

y 1

= yx

ln x + x .

z yx =

(x ln x) x

x

¢¢

Частную производную второго порядка

вычисляем,

z yy

дифференцируя z ¢y

по у (при фиксированном х), т. е.

¢¢

y

¢

y

2

= x ln x.

z yy

= (x ln x) y

¢

= yx

y -1

¢

y

¢¢

¢¢

y -1

y -1

Ответ.

,

= x

ln x ,

= x

+ yx ln x ,

z x

z y

z xy

= z yx

¢¢

y -1

¢

= y( y

-1)x

y -2

,

¢¢

y

ln

2

x.

z xx = ( yx

) x

z yy = x

Условия задач. Найти частные производные до второго

порядка включительно заданных функций.

1.

z = e xy .

2.

z = xli(x / y).

3.

z = sin( xy).

4.

z = e x cos y.

5.

z = x 2 + y 2 .

6.

z = ln( x 2

+ y).

7. z = 2xy + y 2 .

8.

z = ln 3 xy.

9.

z = x cos y + y sin x.

10.

z = (1 + x) 2 (1 + y) 4 .

¶f

r

¶f

r

¶f

r

ì¶f

¶f

¶f ü

grad f =

i +

j +

k = í

,

,

ý .

¶x

¶y

¶z

¶x

î

¶y ¶z þ

¶f

,

¶f

,

¶f

.

¶x

¶y

¶z

grad f

M = {f x¢(x0 , y0 , z 0 ),

f y¢(x0 , y0 , z 0 ),

f z¢(x0 , y0 , z 0 )}.

Записываем ответ.

Пример. Найти градиент функции u = x 2

- arctg( y + z) в

точке М (2,1,1).

Решение.

1. Находим частные производные функции

u = x 2 - arctg( y + z) :

¶f

= 2x,

¶f

= -

1

,

¶f

= -

1

.

+ ( y + z)2

+ ( y + z)2

¶x

¶y

1

¶z

1

2. Вычисляем частные производные функции

u = x 2

- arctg( y + z) в точке М (2,1,1):

f x¢(2, 1, 1) = 4,

f y¢(2, 1, 1) = -

1

,

f z¢(2, 1, 1) = -

1

.

5

u = x 2

5

3.

Вычисляем

градиент

функции

- arctg( y + z) в

точке

М (2,1,1):

1

1 ü

grad f

(2,1,1) = {f x¢(2, 1, 1),

f y¢(2, 1, 1),

f z¢(2, 1, 1)}=

ì

í4,-

,-

ý.

Ответ. grad

f

ì

1

1

ü

î

5

5 þ

(2,1,1) =

í4,-

,-

ý.

5

5

î

þ