Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н
|
|
Вариант 20 |
|
|
||
1. Найти и |
изобразить на |
чертеже |
область определения |
|||
функций: а) |
z = |
1 |
; б) z = |
1 |
|
- ln xy . |
x 2 - y 2 - 5 |
|
|
||||
|
|
|
x - 2 |
|||
2.Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал
|
функции z = ln(y - x2 - 3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить |
y |
|
x |
значение |
|
производной |
сл |
||||
|
функции u = |
- |
, где x = |
sin t, y = cos t при t = |
p |
, |
с |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x y |
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
точностью до двух знаков после запятой. |
|
||||||||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|
||||||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 3y2 + z2 - 2xy + 6x - 2y - 8z + 20 |
||||||||||||
= 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков |
||||||||||||
после запятой. |
|
|
|
|
|
|
данная функцияe– cos(x+3y) |
|||||
6. |
Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|||||||||
|
указанному уравнению 9 |
¶2u |
= |
¶2u |
. |
|
|
|
||||
|
¶x 2 |
¶y 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 - y2 - z2 + xz - 4x = -5, M0(-2,1,0); б) S: x2 - y2 + z2 = 30, M0(3,2,5).
8. В направлении какой |
линии: y2 |
= 4x или x2 + y2 = 5 в |
т. М0(1,2) функция z |
= x3 + y3 |
изменяется быстрее в |
сторону убывания аргумента x. |
|
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 3x2 - 2y2 + 10.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + xy - 2 в области D: y = 4x2 - 4, y = 0.
36
Вариант 21 |
|
|
|
1. Найти и изобразить |
на чертеже |
область определения |
|
функций: а) z = ln(3x - y); |
б) z = |
xy |
. |
|
|||
(x + y)
2.Вычислить приближенно 3,09e 0,09.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = arcsin(2x - y3) + x.
4. Вычислить значение производной сложной функции
u = 
x2 + y + 3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 = y – z + 3, в данной
точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
x |
¶2u |
|
¶2u |
|
u = e (xcos y-ysin y) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
¶x 2 |
¶y 2 |
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 – xz + yz - 3x = 11, |
M0(1,4,-1); |
б) S: x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0, |
M0(2,-2,0). |
8. По какому направлению должна двигаться .тМ(x,y,z) при
переходе |
|
|
через . |
Mт0(-1,1,-1), чтобы |
функция |
|||
u = |
x |
+ |
y |
+ |
z |
возрастала с наибольшей скоростью? |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y z |
|
x |
|
|
|||
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3- 6xy +1.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 y (4 - x - y) в области D: y = 6 - x, y = 0, x = 0.
37
|
Вариант 22 |
|
1. Найти и |
изобразить на |
чертеже область определения |
функций: |
а) z = y- y2 - x 2 ; |
б) z = sinp (x 2 + y 2 ) . |
2.Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = x2 y sin x - 3y .
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = arcsin |
x |
, где x = sin t, |
y = cos t при t = π, с точностью |
|
|||
|
2 y |
|
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 + 2xy - 4x – yz - 3y - z =
0, в данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
y3
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu =
x
указанному уравнению x 2 ¶2u - y 2 ¶2u = 0 .
¶x 2 ¶y 2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0,2,0); б) S: 2x2 - y + 2z2 = 0, M0(1,10,2).
8. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3 + y3 - 3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z = y 
x - y2 - x + 6y
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x3 - y3-3xy в области D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.
38
Вариант 23
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций: а) z = x 2 - y2 – x; б) z = arcsin(1- x2 - y2)+
+ arcsin2xy.
2.Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy) - 3xy2.
4. Вычислить |
значение |
производной |
сложной |
|
функции |
||||
u = |
x |
- |
y |
, |
где x = sin2t, |
y = tg2 t |
при t = |
p |
, с |
|
|
4 |
|||||||
|
y x |
|
|
|
|
||||
точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - y2 - z2 + 2x - 4y + 6z + 12 = 0, в
данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
|
2 |
|
¶2u |
|
¶2u |
|
u = 3+ln(x |
+ (y + 1) |
|
) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, M0(-1,-1,1);
б) S: x2 + y2 + 2z2 = 10, M0(-1,1,2).
8.В направлении какой линииy2 = 4x или x2 + y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3 + y3 изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z=x2 - xy+y2+9x-6y+20.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4(x - y) - x2 - y2 в области D: 2y + x = 4, x - 2y = 4.
39
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже |
|
|
область |
определения |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
функций: а) z = ln(25 - x - y ); б) z = arctg( |
|
|
). |
|
||||||||||||
|
x + y |
|
|||||||||||||||
2. |
Вычислить приближенно (0,99)5,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Найти |
частные производные и полный |
дифференциал |
||||||||||||||
|
функции z = arcsin |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить |
значение производной |
сложной |
|
функцииu = |
||||||||||||
|
|
x + y + 3 , где x = lnt, |
|
y = t2 при t = 1, с точностью до |
|||||||||||||
|
двух знаков после запятой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|
|||||||||||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: |
|
x 2 |
+ y2 |
+ z3 - 3z = 3, в данной |
|||||||||||||
точке M0 (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой. |
|||||||||||||||||
6. |
Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|
|
данная |
функцияu |
||||||||||
|
= |
1 |
|
указанному уравнению |
¶2u |
|
+ |
¶2u |
|
= 0 . |
|
||||||
|
x 2 + y 2 |
¶x 2 |
¶y 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(1,0,1); б) S: y2 - 4y + z = 0, M0(1,-2,-12).
8. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т.
M0(-2, 2) функция |
z = 2x 2 - y 2 изменяется скорее в |
сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(6 - x - y).
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 - y2 + 2xy - 4x в области D: y = x+1, y = 0, x = 3.
40