Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н

Вариант 10

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 _ z2 - 2xy + 2x = 0, M0(1,1,1);

б) S: 3x2 - 11y2 + 3z2 + 5 = 0, M0(1,1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = x2 + y2 в т. M0(6,8) в направлении линии x2 + y2 = 100 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 6(x - y) - 3x2 - 3y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 2xy - 10 в области D: y = 0, y = x2 - 4.

26

y

2.Вычислить приближенно (3,02)3 ∙ 5 0,97 .

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y4x3).

4. Вычислить значение производной сложной функции

u = ey-2x-1, где x = cos t, y = sin t при t = p , с точностью до двух

2

знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 2y2 + 3z2 – yz + y = 2, в данной

точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2 + y2 + 2x - 2xy - y, M0(-1,-1,-1);

б) S: x2 + y2 + 2z2 = 10, M0(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x2 +xy + y2 - 6x - 9y.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy - 2x - y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 3.

27

точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 + 2xz = 5, в данной точке M0 (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияarctg x + y

1 - xy

указанному уравнению ¶2u = 0 .

¶x¶y

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y2 - x2 + 2xy - 3y, M0(1,-1,1);

б) S: x2 + y2 - 4z2 = 1, M0(1,2,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M0(1,-1) в направлении линииy = -x в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = (x - 2)2 + 2y2 - 10.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 0,5x2 - xy в области D: y = 8, y = 2x2.

28

2.Вычислить приближенно ( sin1,56)∙(cos1,58).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

а) S: z = x2 - y2 - 2xy – x - 2y, M0(-1,1,1); б) S: x2 - 5y + z2 = 0, M0(1,2,-3).

8. Определить градиент и производную заданной функции

сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = (x - 5)2 + y2 + 1

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 3x2 + 3y2 - 2x - 2y + 2 в области D: y + x - 1 = 0, y = 0, x = 0.

29

x 2

u = , где x = 1 - 2t, y = arctg t при t = 0, с точностью до y +1

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: 3x2 y2 + 2xyz2 - 2x3z + 4y3z = 4, в

данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = x 2 + y 2 + z 2 указанному уравнению

(¶¶ux )2 + (¶¶uy )2 + (¶¶uz )2 = 0 .

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 - 2y2 + z2 + xz - 4y = 13, M0(3,1,2); б) S: x2 - 7y + z2 = 4, M0(3,2,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = xey в т. M0(1,1) в направлении линииxy = 1 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 - 3xy.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2x2 + 3y2 -1 в области D: y = 9 - 9 x 2 , y = 0. 4

30