Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	Условия задач. Найти градиент функции u = f (x, y, z) в
точке М.
1.	u = x + ln( z 2 + y 2 ),				M (2, 1, 1).
2.	u = x 2 y -	xy + z 2 ,			M (1, 5, - 2).
3.	u = sin( x + 2 y) + 2			xyz , M (p / 2, 3p / 2, 3).
4.	u = x 3 +	y 2	+ z 2 ,		M (1, 1, 0).
5.	u = xy +	9 - z 2 ,			M (1, 1, 0).
6.	u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z,				M (1, 3, 2).
7.	u = x 2 y 2 z - ln( z -1),				M (1, 1, 2).
8.	u = ln( x 2 + y 2 ),			M (1, -1, 2).
9.	u = xy - x / z,		M (-4, 3, -1).
10.	u = ln( x +	z 2 + y 2 ),			M (1, - 3, 4).

Производная по направлению

Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в точке А(x1, y1, z1) по направлению к точке В(x2, y2,z2).

План решения.

1. Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке

А(x1,y1,z1), то в этой точке существует ее производная

по любому направлению l , определяемая формулой

¶u

= (grad u

A , l0 ),

(1)

¶l

где

grad u = ì¶u

¶u

¶y

¶z

î¶x

. В данном случае

2. Находим координаты вектора l

l = A B = {x2 - x1 , y2 - y1 , z 2 - z1 }.

3. Находим единичный вектор (орт) l0 :

r	r		{x2 - x1 , y2	- y1 , z 2	- z1	}
	l
l0 =	r	=	(x2 - x1 ) 2 + ( y2			.

	l			- y1 ) 2 + (z 2 - z1 ) 2

4. Вычисляем частные производные и градиент функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1):

grad u A = {u¢x (x1 , y1 , z1 ), u¢y (x1 , y1 , z1 ), u ¢z (x1 , y1 , z1 )}.

5. Вычисляем скалярное произведение в формуле(1),

получаем ответ.
Пример.	Найти	производную

u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1) по направлению к точке В(2, 4, -3).

Решение.

1.Так как функция u = x 2 - arctg( y + z) дифференцируема

вточке А(2,1,1), то в этой точке существует ее производная по

любому направлению l , которая определяется формулой (1).

. В данном случае

2. Находим координаты вектора l

= {0, 3, - 4}.

l =

3. Находим единичный вектор (орт) l0 :

{0, 3, - 4}

4 ü

l0 =

0 2 + 32 + (-4) 2

= í0,

, -

ý.

î 5

5 þ

4. Вычисляем частные производные функции u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1):

	¶u	(2,1,1)	= 2x		(2,1,1)		= 4,			¶u			(2,1,1)	= -					1				(2,1,1)	= -	1	,
	¶u		= 2x				= 4,			¶u				= -					1					= -	1	,
	¶x										¶y						1+ ( y + z) 2							5
	¶x			¶u							¶y						1+ ( y + z) 2							5
						(2,1,1)		= -				1					(2,1,1)		= -		1	.
												1									1
				¶z
										1+ ( y + z) 2										5
Тогда										1+ ( y + z) 2						1			1	5
Тогда
						grad u						ì								ü
												ì								ü
									(2,1,1)			= í4,			-			, -		ý.
									(2,1,1)			= í4,			-	5		, -	5	ý.
												î				5			5	þ

5. Подставляя полученные значения в формулу(1) и вычисляя скалярное произведение, получим

¶u

1 ö

1 ö æ

4 ö

(2,1,1)

= (grad u

(2,1,1)

, l

) = 4 ×0 + ç

+ ç

×ç

¶l

Ответ.

¶u

(2,1,1)

¶l

Условия задач. Найти производную функцииu(x,y,z) в

точке А по направлению к точке В.

u = x + ln( z 2

- y 2 ),

A(2, 1, 1),

B(0, 2, 0).

u = x 2 y -

xy + z 2 ,

A(1, 5, - 2),

B(1, 7, - 4).

u = sin( x + 2 y) + 2

xyz ,

æ p

, 3

æ p

+ 3, 3

Aç

÷,

Bç

÷.

u = x 3 +

y 2

+ z 2 ,

A(1, 1, 0),

B(1, 2, -1).

u =

xy +

9 - z 2 ,

A(1, 1, 0),

B(3, 3, -1).

u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z,

A(1, 3, 2),

B(0, 5, 0).

u = x 2 y 2 z - ln( z -1),

A(1, 1, 2),

B(6, - 5, 2

5 + 2).

u = ln( x 2

+ y 2 ),

A(1, -1, 2),

B(2, - 2, 3).

u = ln( x +

z 2 + y 2 ),

A(1, - 3, 4),

B(-1, - 4, 5).

10. u = xy -

A(-4, 3, -1),

B(1, 4, - 2).

Производные сложной функции

Постановка

задачи.

Найти

производные z ¢x

z ¢y

функции z = z(u,u),

где u = u(x, y) и u = u(x, y).

План решения. Поскольку z является сложной функцией

двух

переменных х

у,

то

ее

производныеz ¢x

z ¢y

вычисляются по формулам

¶z

¶u

¶z

¶u

(2)

¶x

¶u ¶x

¶u

¶x

¶z

¶u

¶z

¶u

(3)

¶y

¶u ¶y

¶u

¶y

1. Вычисляем частные производные

¶z

¶u

¶u ¶x

¶y

¶x

¶y

2.Подставляем полученные результаты в формулы(2) и

(3)и записываем ответ.

Замечание. Формулы (2) и (3) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана

функция

f (u,u, w) ,

где

u = u(x, y, t),

u = u(x, y, t)

w = w(x, y, t),

то

ее

частные

, f

производныеf , f

вычисляются по формулам

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶x ¶u ¶x ¶u ¶x ¶w ¶x

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶y ¶u ¶y ¶u ¶y ¶w ¶y

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶t

¶u ¶t

¶w ¶t

Пример. Найти производные z ¢x и z ¢y

функции z = u / u ,

где u = x y

и u =

xy .

Решение.

1. Вычисляем частные производные

¶z

= -

¶u

u 2

¶u = yx y -1 ,

¶u = x y ln x, ¶u =

y ,

¶u =

x .

¶x

¶y

¶x

2 x

¶y

2 y

2. Подставляя полученные результаты в формулы (8) и (9), получаем

¶z = 1 × yx y -1 - u

y , ¶z = 1 × x y ln x - u

x .

¶x u

u 2

2 x

¶y u

u 2

2 y

Ответ.

¶z = 1 × yx y -1 - u ×

¶z = 1 × yx y ln x - u

x ,

¶x u

u 2

2 x

¶y u

u 2

2 y

где u = x y , u =

xy.

Условия

задач. Найти

производные z ¢x

z ¢y

функции

z = z(u,u) , где u = u(x, y)

и u =u(x, y).

z = u 2 +u 2 ,

u = x + y, u = x - y.

z = ln(u 2

+u 2 ),

u = xy,

u = x / y.

z = uu ,

u = sin x,

u = cos y.

z = u 2 + 2u 3 , u = x 2 - y 2 , u = e xy .

z = arctg(u / u),

u = x sin y,

u = x cos y.

z = ln(u -u 2 ),

u = x 2

+ y 2 ,

u = y.

z = u 3 +u 2 ,

u = ln

x 2 + y 2 , u = arctg ( y / x).

z = uu ,

u = ln( x 2

+ y 2 ),

u = xy 2 .

z = euu , u = ln x, u = ln y.

10.

z = ln(u / u),

u = sin( x / y),

u =

x / y.

Производная неявной функции

Постановка

задачи.

Найти

производную

функции

y = y(x) , заданной неявно уравнением

F (x, y) = 0.

(4)

План решения. Если при каждом фиксированномх, принадлежащем некоторой областиD, уравнение (4) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области

Источник: https://studfile.net/preview/16564379/

Смотрите также:



ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.