Материал: Функции нескольких переменных. Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциалине Высшая математика. Пантелеев И.Н

Е, то уравнение (4) задает функцию y = y(x) с

областью

определения D и областью значений E.

Если

в

некоторой

окрестности

(x0 , y0 = y(x0 )) функция

F(x,y)

дифференцируема

и

Fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 , то уравнение (4) определяет функцию у = у(х),

дифференцируемую в точкеx0 , причем ее производная

определяется формулой

Fx¢(x0

, y0 )

y¢(x0 ) = -

.

(5)

Fy¢(x0

, y0 )

Замечание.

Аналогично

вычисляются

частн

производные функций нескольких переменных, заданных

неявно. Например,

если

уравнение F (x

,y ,z) =

0 задает

функцию z = z (x ,y) , то

при известных условиях

функции

z = z (x, y) дифференцируема в

точке (x0 , y0 ) и ее

частные

производные определяются функциями

z ¢x (x0

F

¢(x

0

, y

0

, z

0

)

z ¢y

Fy¢(x0 , y

0

, z 0 )

, y0 ) = -

x

,

(x0 , y0 ) = -

,

Fz¢(x0 , y0 , z0 )

Fz¢(x0 , y0 , z 0 )

где z0

есть корень уравнения F (x0 , y0 , z) = 0.

Пример. Найти производную функции y = y(x) , заданной

неявно уравнением

= arctg y .

ln

x 2

+ y 2

(6)

Решение.

x

x 2 + y 2 - arctg y .

1. В данном случае F (x, y) = ln

x

Вычисляем ее частные производные:

Очевидно, что F (x, y) ,

Fx¢

и Fy¢ непрерывны при

всех

x ¹ 0 и

Fy¢ ¹ 0

при x ¹ y . Следовательно,

уравнение

(6)

определяет функцию у(х),

дифференцируемую во всех точках

(x0 , y0 )

области, где x ¹ 0 и x ¹ y .

2. Находим y¢

по формуле (5)

y

¢

Fx¢(x0 , y0 )

(x0 + y0 ) /(x02 + y02 )

x0 + y0

= - Fy¢(x0 , y0 ) = - ( y0 - y0 ) /(x02 + y02 ) = x0 - y0 .

Ответ.

y¢ =

x0 + y0

при

всех x0 , y0 ,

удовлетворяющих уравнению

x0 - y0

(6), в области, где x ¹ 0 и x ¹ y .

Условия

задач. Найти

производные функций y = y(x) ,

заданных неявно уравнениями.

1.

y x = x y .

2.

y = 1+ y x .

3.

y = x + ln y.

4.

x + y = e x- y .

5.

x 2 e 2 y

- y 2 e 2 x = 0.

6.

x - y + arctgy = 0.

7.

y sin x - cos(x - y) = 0.

8.

sin( xy) - e xy - x 2 y = 0.

9. 1+ xy - ln(e xy + e -xy ) = 0.

10.

x 2 - 2xy + y 2 + x + y - 2 = 0.

r

ì¶F

¶F

¶F

ü

n = grad F

M =

í

M ,

M ,

M ý.

î ¶x

¶y

¶z

þ

Следовательно, уравнение касательной плоскости к

данной поверхности в точке M (x0 , y0 , z 0 ) есть

Fx¢

M (x + x0 ) + Fy¢

M ( x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz¢

M (z - z0 ) = 0 (7)

и уравнение нормали

x - x0

=

y -

y0

=

z - z 0

.

(8)

Fx¢

Fy¢

M

M

Fz¢

M

1. Находим частные

производныеFx¢,

Fy¢, Fz¢ в точке

Пример.

Найти

уравнение

касательной

плоскости и

нормали к поверхности, заданной уравнением

z = xy

в точке М(1, 1).

Решение.

Запишем уравнение поверхности в видеху – z = 0,

т. е. F = xy - z.

Координаты

точки

М: x0 =1 и

y0 =1. Координаты z0

определяем из условия, что точка М принадлежит данной

поверхности, т. е. F (1, 1, z 0 ) = 0 . Получаем z0 =1.

1. Находим

частные

производные Fx¢, Fy¢, Fz¢

в точке

М(1, 1, 1):

1.

z = x 2 + y 2 ,

M (1, - 2, 5).

2.

x 2

+

y 2

-

z

2

= 0, M (4, 3, 4).

16

9

8

6.

z = arctg(x / y),

M (1, 1, p / 4).

7.

x( y + z)(z - xy) = 8,

M (2, 1, 3).

8.

2 x / z + 2 y / z = 8,

M (2, 2, 1).

9.

x 2

+ y 2

+ z 2 -16 = 0,

M (2, 2, 2

2).

10.

x 2

+ y 2

- z 2 = -1, M (2, 2, 3).

Экстремум функции двух переменных

Постановка

задачи. Найти

стационарные

точки

функции z = z(x, y) и исследовать их характер.

Решая эту систему уравнений, находим стационарные

точки функции z(x, y) : M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x2 , y2 ),K, M n (xn , yn ).

2. Для того чтобы исследовать характер стационарных

точек, воспользуемся достаточными условиями экстремума

функции двух переменных.

Пусть

функция

z = z(x, y)

определена

и

имеет

непрерывные

частные

производные

второго

порядка

в

стационарной точке

M (x0 , y0 )

(т. е. z ¢x (x0 , y0 ) = z ¢y (x0 , y0 ) = 0 ). Тогда если в этой точке:

а)

¢¢

¢¢

¢¢

2

> 0

, то М – точка экстремума, причем при

z xx

× z yy

- (z xy )

¢¢

¢¢

< 0 – точка максимума;

z xx

> 0 - точка минимума, при z xx

б)

¢¢

¢¢

-

¢¢

2

< 0

, то М не является точкой экстремума;

z xx

× z yy

(z xy )

в)

¢¢

¢¢

¢¢

2

= 0 ,

то

требуется

дополнительное

z xx × z yy

- (z xy )

исследование (например, по определению).

3.

Вычисляем

производные

второго

порядка

функции

z(x, y) .

4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение

¢¢

¢¢

¢¢

2

z xx

× z yy - (z xy )