Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

симметрии, которая на плоскости эквивалентна вращению

на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вращению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию,

когда любая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат R (например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится

в точку — R.

Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а ин­ версия рисунка б приводит к такому же рисунку. На двумерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точке А экви­

валентна повороту на 180° вокруг той же самой точки. Предпо­ ложим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным,

вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочки»,

смотрящие из страницы кверху. В результате инверсии в трех­

мерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы обозначим

острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем об­ разовать трехмерный рисунок (фиг. 30.9, в), который несиммет­

ричен относительно инверсии, или же мы можем получить рису­ нок, который такой симметрией обладает (фиг. 30.9, г). Заметьте,

Ф и г . 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией,

а — рисунок меняется; б — рисунок не меняется при лреобразованнн R->— R; $ — в трен

измерениях рисунок не симметричен после операции инверсии; г — рисунок симметричен в трех измерениях.

16

что трехмерную инверсию нельзя получить никакой комбина­

цией вращений.

Если мы будем характеризовать «симметрию» рисунка (или решетки) разного рода операциями симметрии, которые мы только что описали, то окажется, что в двумерном случае су­ ществуют 17 различных форм узоров. Узор с наинизшей возмож­ ной симметрией мы изобразили на фиг. 30.1, а узор с одной из наивысших симметрий — на фиг. 30.7. Отыщите сами все 17 возможных форм рисунков.

Удивительно, как мало типов из этих 17 используется при изготовлении обоев и тканей! Всегда видишь одни и те же три или четыре основных типа. В чем здесь дело? Неужели так убога фантазия художников или, может быть, многие из возможных типов рисунков не будут радовать глаз?

§ 6. Симметрии в трех измерениях

До сих пор мы говорили только об узорах в двух измерениях. На самом же деле нас интересуют способы размещения атомов в трех измерениях. Прежде всего очевидно, что трехмерный кристалл имеет три основных вектора. Если же мы поинтере­

суемся возможными операциями симметрии в трех измерениях, то обнаружим, что существует 230 возможных типов симметрии! По некоторым соображениям, эти 230 типов можно разделить

на семь классов, представленных на фиг. 30.10. Решетка с наи­ меньшей симметрией называется триклинной. Ее элементарная

ячейка представляет собой параллелепипед. Основные векторы все имеют разную длину и нет ни одной одинаковой пары углов между ними. И никакой вращательной или зеркальной симметрии здесь нет. Однако есть еще одна операция: при инверсии в узле элементарная ячейка может меняться, а может и не меняться. [Под инверсией в трех измерениях мы снова подразумеваем, что пространственное смещение R заменяется на — R, или, другими словами, точка с координатами (х, у, г) переходит в точку с ко­ ординатами (—х, —у, —г). Поэтому симметрия триклинной ре­

шетки может быть только двух типов — с центром инверсии и без него.] Пока мы считали, что все векторы разные и распо­

ложены под произвольными углами. Если же все векторы оди­ наковы и углы между ними равны, то получается тригональная

решетка, изображенная на рисунке. Ячейка такой решетки может иметь добавочную симметрию;’она может еще и не меняться при вращении вокруг наибольшей телесной диагонали.

Если один из основных векторов, скажем с, направлен под прямым углом к двум остальным, то мы получаем моноклинную

элементарную ячейку; Здесь возможна новая симметрия — вращение на 180° вокруг с. Гексагональная решетка — это част­

ный случай, когда векторы а и b равны и угол между ними со-

17

18

ной симметрией четвертого порядка. Две главные оси его эллипсоида должны быть равны, а третья должна быть па­ раллельна оси кристалла. Аналогично, поскольку ромбический кристалл обладает вращательной симметрией второго порядка относительно трех перпендикулярных осей, его оси должны совпадать с осями эллипсоида поляризуемости. Точно так же

одна из осей моноклинного кристалла должна быть параллельна одной из главных осей эллипсоида, хотя о других осях мы ни­

чего сказать не можем. Триклинный кристалл не обладает вра­ щательной симметрией, поэтому его эллипсоид может иметь любую ориентацию.

Как видите, мы можем с пользой провести время, придумы­ вая всевозможные типы симметрии и связывая их со всевозмож­ ными физическими тензорами. Мы рассмотрели только тензор поляризуемости, здесь дело было простое, а для других тензо­ ров, например для тензора упругости, рассуждать будет труднее. Существует раздел математики, называемый «теорией групп», который занимается такими вещами, но обычно можно сообра­ зить все, что нужно, опираясь лишь на здравый смысл.

§ 7. Прочность металлов

Мы говорили, что металлы обычно имеют простую кубиче­ скую кристаллическую структуру; сейчас мы обсудим их меха­ нические свойства, которые зависят от этой структуры. Вообще говоря, металлы очень «мягкие», потому что один слой кристалла

легко заставить скользить над другим. Вы, наверное, поду­ маете: «Ну, это дико — металлы ведь твердые». Нет, монокри­

сталл металла легко деформируется.

Рассмотрим два слоя кристалла, подвергающихся действию силы сдвига (фиг. 30.11, а). Вероятно, вы сперва решите, что весь слой будет сопротивляться сдвигу, пока сила не станет достаточно большой, чтобы сдвинуть весь слой «над горбами» на одно место влево. Хотя скольжение по некоторой плоскости возможно, все происходит совсем не так. (Иначе, согласно вы­ числениям, получилось бы, что металл гораздо прочнее, чем он есть на самом деле.) В действительности же дело больше по­ ходит на то, что атомы перескакивают поочередно: сначала пры­ гает первый атом слева, затем следующий и т. д., как показано на фиг. 30.11, б. В результате пустое место между двумя атомами

быстро путешествует направо и весь второй ряд сдвигается на одно межатомное расстояние. Скольжение происходит таким образом, что на перекатывание атома через горб поодиночке требуется гораздо меньше энергии, чем на поднятие всего ряда в целом. Как только сила возрастет до значения, достаточного для начала процесса, весь процесс протекает очень быстро.

1»

а

Ф и г . 30.11. Сдвиг плоскостей кристалла.

Оказывается, что в реальном кристалле скольжение возни­ кает поочередно: сначала в одной плоскости, затем заканчивается там и начинается в другом месте. Почему оно начинается и почему заканчивается — совершенно непонятно. В самом деле, очень странно, что последовательные области скольжения часто рас­ положены довольно редко. На фиг. 30.12 представлена фотогра­ фия очень маленького и тонкого кристалла меди, который был растянут. Вы можете заметить разные плоскости, в которых возникало скольжение.

Неожиданное соскальзывание отдельных кристаллических плоскостей легко заметить, если взять кусок оловянной про­ волоки, в которой содержатся большие кристаллы, и растяги­ вать ее, держа близко к уху. Вы ясно различите звуки «тик-тик», когда плоскости защелкиваются в новых положениях, одна за другой.

Проблема «нехватки» атома в одном из рядов сложнее, чем может показаться при рассматривании фиг.

30.11.Когда слоев больше, ситуация скорее

походит на то, что изображено на фиг. 30.13. Подобный дефект в кристалле называют дислока­

цией. Считается, что такие дислокации возни­

кают при образовании кристалла или же в результате царапины или трещины на его по­ верхности. Раз возникнув, они довольно свободно могут проходить сквозь кристалл. Большие нарушения возникают из-за движения множе­ ства таких дислокаций.

Дислокации могут свободно передвигаться. Это значит, что для них требуется немного допол­ нительной энергии, если только весь остальной кристалл имеет совершенную решетку. Но они

Ф и г . 30.12. Маленький кристалл меди после растяжения.