Материал: Фарфоровская Ю. Б. Разностные уравнения и Z-преобразование

n

an 13 102 sin(n ) .

Пример 5. Разностное уравнение 3-го порядка с вещественными корнями характеристического уравнения. В этих примерах один из корней должен легко угадываться (напомним, что целые корни полинома с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице, обязательно являются делителями его свободного члена).

Найти ап из уравнения:

ап + 3 – 3ап + 2 + 4ап = 0, a0 = 0, a1 = 1, a2 = –5.

В этом случае q3 – 3q2 + 4 = 0. Угадываем корень q1 = –1 (если бы не угадали, то перепробовали бы в качестве корней все делители свободного члена 4, т. е. числа +1, –1, +2, –2, 4, –4). Для нахождения остальных корней

делим характеристическое уравнение на множитель q – q1, т. е. на q + 1. q3 – 3q2 4 q 1

–4q2 + 4

–4q2 – 4q 4q + 4 4q + 4

Приравнивая частное нулю, получим: q2, 3 = 2. Отсюда

ап = С1(–1)п + С22п + C3 · n · 2n.

Находим постоянные С1, С2, С3.

п= 0: а0 = С1 + С2 = 0;

п= 1: а1 = –С1 + 2С2 + 2С3 = 1;

п2 = 2: а2 = С1 + 4С2 + 8С3 = –5.

Решаем эту систему. Так как из первого уравнения следует, что

тельно,

ап = (–1)п + 1 + 2п – п · 2п.

6.2. Решение задач 21–40. Этот раздел связан с разложением правильной рациональной дроби на простейшие дроби трех типов. Мы здесь избегаем простейших дробей 4-го типа (который связан с наличием в знаменателе кратных комплексно сопряженных корней и является достаточно трудоемким). Более того, мы считаем, что в этом случае удобнее совершать разложение на простейшие в области комплексных чисел, которое приводит к простейшим дробям только первого и второго типа и принци-

21

пиально не отличается от разобранных нами случаев. Начнем с нахождения оригиналов от конкретных простейших дробей (трех типов) умноженных на z.

Пример 6.

а) F(z) является простейшей дробью 1-го типа, умноженной на z.

F(z) = z5z4 . Тогда ап = 5(–4)n, где n = 0, 1, 2… .

б) F(z) является простейшей дробью 2-го типа, умноженной на z.

(однако ясно, что ненулевые члены последовательности ап появятся лишь при п ≥ 3).

в) F(z) является простейшей дробью 3-го типа, умноженной на z (корни знаменателя – комплексно сопряженные числа).

F (z) (3(z2 2 2) 1)z z 4z 10

(число 2 равно половине коэффициента при z в знаменателе), т. е.

мы видим, что перед последней дробью в (6.1) стоит знак «–». Это значит, что sin β – отрицательное число. Поэтому

Так как, и cos β, и sin β отрицательны, то

22

Авторы предполагают, что студенты умеют раскладывать правильную рациональную дробь на простейшие рациональные дроби (и решения наших заданий 21–60 требуют этого умения). Мы здесь только напомним схему этого разложения.

Пример 7. Разложение на простейшие дроби. Пусть дана правильная рациональная дробь, знаменатель которой разложен на вещественные множители не выше второй степени.

шие для F(z) имеет вид:

Заметим, что число неопределенных коэффициентов равно степени знаменателя (то есть шести), а степень числителя должна быть строго меньше шести. Таким образом нахождение оригинала для zF(z) фактически сводится к решению примеров, аналогичных примерам, разобранных выше (примеры 6 (а, б, в)).

Пример 8. Оригинал от правильной рациональной дроби не равной нулю (и бесконечности) при z = 0. В этом случае мы раскладываем F(z) на

простейшие и затем находим оригинал bn для функции F1(z) = zF(z). Так как данная функция F(z) = F1(z)/z, то по свойству обратного сдвига ее оригинал будет равен а0 = 0, ап = bn–1 при п ≥ 1,то есть последовательность ап имеет вид (0, b0 , b1 ,b2…)

Пример 9. Знаменатель имеет корень z = 0 и кратность этого корня равна k. Тогда возможны 2 случая:

а) при умножении на zk дробь остается правильной. Тогда мы умножим ее на zk и получим правильную рациональную дробь, умноженную на z, для которой и находим оригинал bn. Тогда нужный нам оригинал будет иметь вид а0 = а1 = … = аk = 0 и далее ап = bn–k–1 при п ≥ k + 1. Более

ную рациональную дробь, умноженную на z, которую обозначим F1(z). Тогда

23

то нужно разложить эту дробь в сумму дробей (по числу слагаемых числителя), затем каждую сократить и применить метод пункта а).

Пример 10. Знаменатель дроби F(z) имеет 2 различных вещественных

6.3. Решение задач 41–60.

Пример 11. Пусть

ап + 2 – 4ап + 1 + 4ап = 2·3п, а0 = 1, а1 = 2. ап ↔ F(z),

an + 1 ↔ zF(z) – a0 z = zF(z) – z,

an + 2 ↔ z(F(z) – z) – a1 z = z2F(z) – z2 – 2z.

Подставляя это в данное уравнение, получим: z2 F(z) – z2 – 2z – 4z F(z) + 4z + 4F(z) = z2z3 ;

24

25