Материал: Фарфоровская Ю. Б. Разностные уравнения и Z-преобразование

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ФОРМУЛИРОВКИ

Пусть имеется последовательность (бесконечная в обе стороны), то есть, {yn} n = …–k,… –1, 0, 1, ….k, …Мы считаем, что все элементы с отри-

цательными номерами равны нулю, то есть, у–k = … = у–1 = 0. Кроме того, мы считаем, что наша последовательность возрастает не быстрее геометрической прогрессии, то есть существуют такие числа M > 0 и q > 0, что:

Определение. Разностным уравнением k-го порядка (k = 1, 2, …) называется уравнение вида:

Если из этого уравнения удается выразить уп + k , то оно будет иметь

вид

Ясно, что для единственности решения системы уравнений (1.2) или (1.3) требуется (при достаточно широких предположениях) наличие к начальных условий. Например, если уравнение (1.2) имеет вид:

уп + 1 = уп2,

то единственное решение этой системы будет обеспечено при произволь-

ном выборе у0 (заметим, что данное уравнение имеет порядок k = 1). Если мы имеем разностное уравнение 2-го порядка, то для единственности ре-

шения потребуется два начальных условия (обычно задают у0 и у1). В общем случае для решения разностного уравнения k-го порядка требуется k начальных условий. Вообще, если уже определены k последовательных значений искомой последовательности, то из уравнения (1.2) или, что особенно удобно из (1.3) сразу определяется следующее значение нужной последовательности.

Замечание. Имеется определенная аналогия между разностными и дифференциальными уравнениями. Например, уравнение (1.2) соответствует дифференциальному уравнению k-го порядка, неразрешенному относительно старшей производной k-го порядка, а уравнение (1.3) соответствует аналогичному дифференциальному уравнению, разрешенному относительно старшей производной. Таким образом, имеется содержательная аналогия между разностными и дифференциальными уравнениями одного порядка.

Наиболее изученными являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные или неоднородные с

6

правой частью специального вида). Для их решения часто применяется так называемый операторный метод, связанный с преобразованием Лапласа. Таким дифференциальным уравнениям соответствуют линейные разностные уравнения, с правой частью специального вида, для решения которых используется дискретное преобразование Лапласа или чаще z- преобразование. Линейным разностным уравнением k-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Здесь – а1, …, ап вещественные числовые коэффициенты, а fп – извест-

ная последовательность. Если fn = 0 при всех п, то уравнение (1.4) называется однородным, в противном случае – неоднородным (здесь имеется полная аналогия с дифференциальными уравнениями).

Заметим, что уравнение (1.4) является разрешенным относительно уп +

k. В общем случае, при уп + k может стоять числовой коэффициент а0 , не равный нулю (на который всегда можно разделить данное уравнение). В

принципе, коэффициенты а1,…ап могут зависеть от п. В этом случае мы будем иметь линейные разностные уравнения не с постоянными коэффициентами. Для всех уравнений вида (1.4) мы сформулируем 2 теоремы о структуре общего решения этих уравнений, содержание и доказательство которых полностью аналогичны соответствующим теоремам в теории линейных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Общее решение линейного однородного разностного уравнения k-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными k линейно независимых частных решений этого уравнения.

Теорема 2. Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного разностного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение разностного уравнения k-го порядка содержит k произвольных постоянных, которые, очевидно, должны определяться с использованием k начальных условий.

Существуют 2 основных метода решения разностных уравнений.

2. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

7

где а1,…,аk – данные числа. Метод Эйлера позволяет найти общее решение этого уравнения, зависящее от k произвольных постоянных С1, …, Сk. Будем искать решение уравнения (2.1) в виде yn = qп, где q – фиксированное число. Тогда из уравнения (2.1) получаем qn + k

или, после сокращения на qn получаем уравнение, называемое характеристическим для данного разностного уравнения:

Уравнение (2.2) – это алгебраическое уравнение k-ой степени, которое имеет (с учетом возможных кратных корней) ровно k корней. Эти корни всегда можно найти приближенно с любой степенью точности. Здесь возможны 3 случая:

а) корни уравнения (2.2) q1, …, qk вещественны и различны. Тогда общее решение уравнения (2.1), очевидно, имеет вид уп = С1q1п + С2q2п + + …

+ Сkqбk)псреди; корней уравнения (2.2) имеется корень кратности т. Пусть

для определенности q1 = … = qт . Тогда вклад в общее решение для этих

корней будет (по аналогии с дифференциальными уравнениями) C1q1n + C2nq1n + … + Cmnт-1q1т-1;

в) среди корней уравнения (2.2) есть комплексные. Так как уравнение

(2.2.) имеет вещественные коэффициенты, то если это уравнение имеет комплексный корень, то обязательно это уравнение имеет и сопряженный комплексный корень и кратность обоих корней одинакова. Предположим, что уравнение (2.2.) имеет комплексные корни α + ίβ, α – ίβ , причем кратность обоих корней равна т. В этом случае необходимо эти корни (вообще говоря, один из них) перевести в показательную форму.

Пусть β > 0 и α + βί = reίφ = r(cosφ + ίsinφ), где r 2 2 0, а

arctg при 0

иarctg при 0 , 2 при α = 0 (так как β > 0).

Для этих корней вклад в общее решение должен содержать 2т произвольных постоянных и имеет вид:

rn [cos(nφ)(C1 + C2n + … + Cmnт–1) + sin(nφ)(Cm + 1 + Cm + 2n + … + C2mnт–1)].

В случае, когда кратность комплексных корней равна 1 (а это бывает, например, для уравнений 2-го порядка) вклад в общее решение содержит 2

произвольные постоянные и имеет вид C1rпсоs(nφ) + C2rпsin(nφ).

Замечание 1. Случай комплексных корней не имеет полной аналогии с соответствующими дифференциальными уравнениями, а именно для разностных уравнений надо переводить корни характеристического уравнения

8

в тригонометрическую форму, а для дифференциальных этого делать не нужно.

Замечание 2. Конкретные разностные уравнения рассматриваемого вида с заданными конкретными начальными условиями проще (как мы увидим далее) решать с помощью z-преобразования, особенно в случае наличия комплексных корней. Однако для исследования общего решения удобнее применять метод Эйлера.

Далее мы рассмотрим метод Эйлера на конкретном примере.

3. ЗАДАЧА О РАЗМНОЖЕНИИ КРОЛИКОВ. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Эту задачу поставил Леонардо Пизанский, прозванный Фибоначчи, на рубеже XII–XIII вв. (точные даты его жизни неизвестны), но считается, что постановка и решение этой задачи были сделаны Леонардо в 1215 году.

Он предположил, что имеется одна пара кроликов и каждый месяц пара кроликов рождает еще пару кроликов и поставил вопрос: «Сколько будет кроликов через год?». Леонардо вывел рекуррентную формулу и нашел конкретный ответ. Эта задача в общем виде была решена в XVII в., когда и был найден общий метод для решения такого рода задач. Этот метод мы сейчас и называем методом Эйлера. Заметим также, что математическое описание любой жизненной ситуации требуют некоторых точных предположений, которые в жизни выполняются приближенно (это и называют математической абстракцией). Мы точно сформулируем 3 предположения для этой задачи:

1.Кролики бессмертны.

2.В момент времени 0 имеется одна новорожденная пара кроликов. 3.Каждая пара кроликов ровно через месяц (как бы в один момент)

рождает еще пару кроликов.

Вопрос: сколько будет кроликов через п месяцев (моментов)? Обозначим уп – число кроликов через п месяцев. Тогда у0 = 1; у1 тоже

равно 1 (так как имеющаяся пара еще не «созрела» для рождения, у2 = 2 (одна пара «старая» и одна только что родившаяся), уз = у1 + у2 = 3 (так как

у2 – это уже существующие пары, которые бессмертны, а у1 – это пары, которые рождены «созревшими». Отсюда мы получаем рекуррентную формулу:

(уп это число «старых» пар, а уп-1 – это число новорожденных пар, которые рождены «созревшими» для этого парами).

Отсюда простым подсчетом получаем последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … .

9

Эти числа и называются числами Фибоначчи. Именно Фибоначчи нашел, что через год количество пар кроликов будет равно 233. Однако из его решения не ясна формула для данной последовательности. Поэтому мы решим уравнение (3.1) методом Эйлера. Из (3.1) получаем характеристическое уравнение 2-го порядка

Так как в нашем случае у0 = у1 = 1, то из (3.2) мы получаем систему для определения постоянных С1 и С2

Ясно, что в этой формуле при больших п определяющим для величины уп является первое слагаемое (второе слагаемое очень быстро

Таким образом, при отсутствии врагов и регуляторов (людей) численности кроликов можно приближенно считать, что кролики размножаются со скоростью геометрической прогрессии.

Замечание. Мы видели, что при решении задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений особенно удобно применять преобразование

10