Материал: Фарфоровская Ю. Б. Разностные уравнения и Z-преобразование

Рецензент заведующий кафедрой высшей математики СПбГЭТУ,

доктор физико-математических наук Н. А. Бодунов

Утверждено редакционно-издательским советом СПбГУТ в качестве учебного пособия

Рабкин, Е. Л.

Р12 Математика. Разностные уравнения и z-преобразование : методические указания / Е. Л. Рабкин, Ю. Б. Фарфоровская ; СПбГУТ. –

СПб., 2013. – 35 с.

Данные методические указания предназначены для тех студентов ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича, в программе обучения которых предусмотрено изучение разностных уравнений, которые часто называют еще возвратными или рекуррентными. В работе изложены основные понятия линейных разностных уравнений и рассмотрены основные способы их решения. Особенно подробно разобран способ решения, связанный с понятием z-преобразования последовательностей, который наиболее часто применяется в приложениях. Приведены примеры решения типовых задач. В работу включены также по 20 заданий по нескольтим типам задач на рассматриваемую тему для контрольных работ и домашних заданий

УДК 51(077) ББК 22.1я73

©Рабкин Е. Л., Фарфоровская Ю. Б., 2013

©Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», 2013

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Разностные уравнения (другие названия – возвратные или рекуррентные) играют большую роль в современной прикладной математике. В частности, эти уравнения возникают при решении дифференциальных уравнений (обыкновенных или уравнений в частных производных) при замене производных разностями. Кроме того, разностные уравнения часто возникают при «шаговых» процессах, когда следующий элемент (по времени) шага описывается через предыдущие шаги (которые являются равномерными по времени). Разумеется, теория разностных уравнений является наиболее изученной для линейных процессов и значит для линейных уравнений.

Мы приведем здесь без доказательства формулы замены производных разностями (с оценкой по порядку) погрешности.

Итак, пусть имеется непрерывно дифференцируемая функция у(x) на конечном интервале [a, b] и уk – ее отсчеты с шагом h. Это значит, что yk = y(xk) где хk = а + kh, k = 0, 1…n, причем мы считаем, что b = a + nh и n – натуральное число. Также мы обозначаем уk` – значение производной от функции у(х) в точке хk.

Тогда имеют место формулы:

грешность порядка h (конечно, эти формулы верны и для внутренних точек интервала). Однако имеются формулы для концов интервала (хотя они верны и для внутренних точек) с погрешностью О(h2), а именно

Замечание. На самом деле, если считать переменную х отсчетами времени, а процесс достаточно длительным, то линейное дифференциальное уравнение сводится к линейному разностному на интервале [a, + ] (обычно мы считаем a = 0, то есть процесс начинается с момента времени 0).

4

Отметим также, что теория разностных уравнений имеет свою специфику: а именно здесь предполагается, что одним уравнением (рекуррентным) задается бесконечное число уравнений, получающихся при подстановке в данное уравнение параметра n = 0, 1, 2… .

5