Материал: Фарфоровская Ю. Б. Разностные уравнения и Z-преобразование

Лапласа. По аналогии с этими уравнениями для решения разностных уравнений с заданными начальными условиями применяют дискретное преобразование Лапласа, либо (наиболее часто) так называемое z-преобразование, причем естественно, что оба эти преобразования применяются для последовательностей. Далее, мы в основном будем рассматривать z- преобразование.

4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Вообще в математике имеются 3 важных преобразования последовательностей. Это дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование и производящая функция. Мы рассмотрим все три преобразования, но главное внимание уделим z-преобразованию. В дальнейшем (если не оговорено

противное) мы будем рассматривать последовательности {an} при п = 0, 1,

2… . При отрицательных п мы считаем ап = 0 (по аналогии с функциямиоригиналами в теории преобразований Лапласа). Также по этой аналогии

мы считаем, что последовательность ап возрастает не быстрее некоторой геометрической последовательности. Это значит, что существуют числа М

> 0 и q0 > 0 такие, что

В этом случае дискретное преобразование Лапласа определяется формулой:

n 0

Ясно, что имеет смысл вводить это преобразование для данной последовательности, когда F(p) может быть найдена как аналитическая функция.

Положим еp = z. После этой замены мы и получаем z-преобразование последовательности ап.

Определение. z-преобразованием последовательности ап называется

функция F (z) an .

n 0 zn

Соответствие между последовательностью ап и функцией F(z) мы будем обозначать {an} F (z) .

Как правило, z-преобразование применяется для вещественных последовательностей, но, в принципе, это определение пригодно и для комплексных чисел.

Рассмотрим теперь свойства z-преобразования:

1) z-преобразование заведомо определено в области |z| > q0.

11

Действительно, F(z) определена при тех z, при которых ряд для нее сходится. Тогда из неравенства (4.1) получаем

Таким образом, ряд для F(z), который является геометрической прогрессией, сходится абсолютно (а значит, и просто сходится) в области |z| >

q0 (когда знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы) и наше свойство верно.

2) Линейность. Если {an} ↔ F(z), {bn}↔G(z), α, β – некоторые числа, то

αan + βbn↔αf(z) + βg(z).

Это свойство очевидно, так как

anzn bn f (z) g(z) .

n 0

3) z-преобразование сдвига. Сдвигом последовательности ап мы назы-

ваем новую последовательность {an + 1}, которая имеет вид {a1, a2, …}.

Тогда:

{an + 1} ↔ z F(z) – za0 {an + 2} ↔ z2F(z) – z2a0 – za1

(все последовательности начинаются с п = 0, а при отрицательных индексах равны 0).

Докажем сначала первую из этих формул. Пусть {an + 1}↔F1(z). Тогда

Вторая и последующие формулы доказываются индукцией с помощью применения первой формулы к полученной предыдущей (то есть мы применяем индукционный переход). В самом деле, получим вторую формулу

из формулы (4.3). Пусть F2(z) ↔ {an + 2}. Тогда получаем по формуле (4.4)

F2(z) = zf1(z) – za1 = z(zf(z) – za0) – za1 = z2f(z) – z2a0 – za1.

Аналогично получаются последующие формулы из (4.3).

12

Заметим, что на практике удобно применять (а значит, и помнить) именно только формулу (4.4), последовательно применяя индукционный переход.

4) z-преобразование обратного сдвига. Обратным сдвигом последова-

тельности ап называется новая последовательность (0, а0, а1, а2….) = {an–

1}; аналогично {an–k} = (0, …0, a0, a1, …) (в начале последовательности стоят ровно k (k > 0) нулей). Тогда {an-1}↔ F(z)/z ; {an-k}↔F(z)/zk. Дейст-

вительно, первая из этих формул (а значит, и все последующие) очевидна:

5) z-преобразование почленного произведения данной последователь-

ности и некоторой геометрической прогрессии. Пусть {an }↔F(z) и q – не-

которое число (вещественное или комплексное). Тогда {anqn} ↔ F(z/q).

Это свойство также сразу же вытекает из определения z-преобра- зования:

6) z-преобразование свертки двух последовательностей соответствует (обычному) произведению z-преобразований этих последовательностей.

13

Таким образом, свойство доказано.

7) Связь z-преобразования с коэффициентами Маклорена для произво-

дящей функцией. Пусть {an}↔F (z) an . Напомним, что этот ряд схо-

n 0 zn

цией для последовательности (ап), а написанный выше ряд является ее ря-

дом Маклорена. Этот ряд сходится абсолютно в некоторой окрестности точки t = 0. Это значит, что функция f1(t) является бесконечно дифференцируемой в точке t = 0 и коэффициенты ее ряда Маклорена, равные соответствующим членам данной последовательности, могут быть вы-

числены по формуле an f1(n) (0) (в случае, когда по заданному преобра- n!

зованию надо восстановить последовательность ап). Вообще, производящая функция для данной последовательности применяется во многих областях математики (в частности, в теории вероятности). Однако в разностных уравнениях обычно применяется z-преобразование.

14

5.ТАБЛИЦА КОНКРЕТНЫХ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Вэтом разделе мы выведем основные формулы z-преобразований для конкретных последовательностей.

Вначале напомним некоторые известные разложения степенных рядов. Основным степенным рядом для нас является геометрическая прогрес-

ды можно дифференцировать (и интегрировать) почленно внутри области его сходимости, то, дифференцируя геометрическую прогрессию, получим следующие степенные ряды

Заметим что первые несколько членов этих рядов равны нулю и реальное разложение начинается с п = т.

Тогда, используя эти разложения, получим z-преобразования следующих последовательностей:

Используя свойство 5 для полученных преобразований (то есть заменяя в них z на z/q), мы получим следующие формулы

15