Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

Глава 12. Затухающие колебания

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕ-

БАНИЙ И ЕГО РЕШЕНИЕ. До сих пор мы рассматривали идеализированные гармонические колебания, в которых механическая энергия сохранялась и смещение изменялось по закону косинуса неограниченно долго. В действительности в любой реальной системе на каждом такте колебаний некоторая доля механической энергии переходит в тепло из-за наличия сил трения. Этот процесс называется диссипацией энергии. Поэтому в отсутствие внешних поддерживающих колебание воздействий амплитуда осциллятора всегда будет уменьшаться во времени.

В случае вязкого трения при малых скоростях движения наличие сопротивления описывается с помощью силы , пропорциональной скорости и направленной противоположно ей. Второй закон Ньютона для системы, в которой действует возвращающая сила (10.2), с учетом диссипации имеет вид

(12.1)

Часто уравнение (12.1) применяют и при наличии других видов трения. В этом случае оно уже не описывает колебания количественно правильно, хотя качественно многие характеристики остаются близкими к более простому случаю, который мы рассматриваем. Перенося все слагаемые в левую часть, деля равенство на массу частицы m и вводя обозначения

(12.2)

приведем уравнение (12.1) к виду

(12.3)

Решим это уравнение методом комплексной амплитуды. Для этого подставим вместо x функцию

(12.4)

в дифференциальное уравнение (12.3) и получим характеристическое алгебраическое уравнение

(12.5)

Корни квадратного уравнения (12.5) имеют вид

(12.6)

Вид решения уравнения (12.5) зависит от соотношения между параметрами δ и ω0. При δ > ω0 сила трения очень велика и оба корня уравнения (12.6) действительны и отрицательны. В этом случае система плавно возвращается в состояние равновесия с нулевым смещением без осцилляций около положения равновесия. Процесс в этом случае не является колебательным и носит назва-

76

ние апериодического. Для иллюстрации на рис. 12.1 приведена зависимость смещения от времени в системе с большой силой трения. Мы не будем исследовать его более подробно.

Рис. 12.1. Затухающее апериодическое колебание

При δ < ω0 движение хотя и не является строго периодическим, но характеризуется повторяемостью во времени. Решение (12.6) может быть преобразовано следующим образом:

(12.7)

Здесь введено обозначение

(12.8)

для величины, играющей роль частоты затухающих колебаний. Одно из комплексных решений уравнения (12.3) имеет вид

(12.9)

Вычисляя действительную часть решения (12.9), получаем решение исходного уравнения затухающих колебаний (12.3):

(12.10)

Роль амплитуды в решении (12.10) играет затухающий множитель

(12.11)

Хотя формально в решении время с начала до полного прекращения затухающих колебаний бесконечно, практически при достаточно больших временах отличием амплитуды от нуля на фоне флуктуаций можно пренебречь. В физике принято характеризовать скорость экспоненциального затухания временем η, необходимым для уменьшения амплитуды в e раз. Это время называется по-

стоянной времени затухания, или временем релаксации.

77

В соответствии с уравнением (12.11)

(12.12)

Подставляя (12.12) в (12.11), получим

(12.13)

График зависимости смещения (жирная линия) и амплитуды (тонкая линия) затухающих колебаний от времени приведен на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Затухающие колебания

ЭНЕРГИЯ ЗАТУХАЮЩЕГО ОСЦИЛЛЯТОРА. В соответствии с уравнением

(10.26) полная механическая энергия осциллятора в точке максимального смещения от положения равновесия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Вследствие диссипации механическая энергия затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону:

(12.14)

где E0 — механическая энергия при t = 0. Зависимости потенциальной энергии U и кинетической энергии Ek от времени при малом затухании описываются уравнениями, аналогичными (10.24) и (10.25):

(12.15)

(12.16)

78

График зависимости потенциальной (жирная сплошная линия), кинетической (тонкая сплошная линия) и полной энергии (монотонная кривая) затухающих колебаний от времени приведен на рис. 12.3.

Рис. 12.3. Зависимость потенциальной и кинетической энергии затухающих колебаний от времени

Рассчитаем скорость уменьшения механической энергии осциллятора :

(12.17)

Здесь учтено, что в соответствии с законом движения (12.1)

.

Поскольку есть пройденный в единицу времени путь, а — сила трения, то уравнение (12.17) имеет простой физический смысл: скорость уменьшения механической энергии равна работе силы трения в единицу времени, то есть мощности этой силы.

ДОБРОТНОСТЬ ОСЦИЛЛЯТОРА С ЗАТУХАНИЕМ. Безразмерная величина —

добротность Q характеризует скорость диссипации энергии. Она определяется как изменение фазы колебаний при уменьшении полной энергии в e раз. Как следует из уравнения (12.14), время этого процесса равно 1/2δ. Умножая это время на частоту ω из уравнения (12.8), мы получим изменение фазы за это время или добротность:

(12.18)

При малом затухании δ << ω0 и, следовательно, при большой добротности уравнение (12.18) можно упростить, так что

(12.19)

79

Здесь использованы соотношения (12.2).

При δ << ω механическая энергия, теряемая за один период T, может быть определена следующим образом:

(12.20)

Таким образом, добротность характеризует отношение полной энергии системы E к энергии ΔE, теряемой за один период:

(12.21)

Добротность является важной характеристикой осциллятора с затуханием.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ. Так же, как в ме-

ханической системе, наличие силы трения приводит к диссипации энергии, наличие сопротивления электрической цепи R приводит к переходу электрической энергии в тепло. Закон Ома для замкнутой цепи (рис. 12.4), состоящей из катуш-

ки индуктивности L, конденсатора C и со-

противления R, с учетом самоиндукции в катушке имеет вид

(12.22)

Учитывая, что , получаем

(12.23)

Уравнение (12.23) совпадает с уравнением (12.1) при заменах параметров

(12.25)

Добротность электрического контура определяется его сопротивлением, емкостью и индуктивностью, и при малом затухании

(12.27)

Параметр δ имеет размерность частоты c-1, а произведение ωL имеет размерность сопротивления R Ом. В Омах измеряется также величина .

80