Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

быть жестким и результирующее колебание не является гармоническим. Его амплитуда по-прежнему может быть представлена в виде (11.3), однако разность фаз складываемых колебаний теперь пропорциональна времени:

(11.5)

Если частоты складываемых колебаний близки, то есть ω << ω, то амплитуда результирующего колебания медленно меняется во времени. При этом результирующее колебание близко к гармоническому. Такие колебания носят название биения. Характерная картина биений приведена на рис. 11.2. Тонкой кривой изображено смещение, а жирной — медленно меняющаяся во времени амплитуда огибающей.

Рис. 11.2. Образование биений в результате сложения колебаний с близкими частотами

Всоответствии с уравнением (11.3) амплитуда биения изменяется с час-

тотой ω/2 от величины x0 = x20 - x10 (в те моменты, когда векторные амплитуды направлены противоположно) до значения x0 = x20 + x10 (в те моменты, когда векторные амплитуды имеют одинаковое направление). В случае одинаковых амплитуд эти результаты могут быть легко получены аналитически.

Врезультате сложения колебаний получим

(11.6)

Множитель играет роль медленно меняющейся амплитуды.

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. Кроме дей-

ствительного решения в виде гармонических функций дифференциальное уравнения гармонических колебаний (10.5) имеет комплексное решение:

(11.7)

71

(11.9)

уравнение (11.7) можно представить в виде

(11.10)

где

(11.11) (11.12)

Физическим смыслом обладает действительная часть решения (11.11), совпадающая с решением в форме (10.6).

Для одного гармонического колебания предпочтительно сразу выбирать решение в виде (10.6), минуя вспомогательное уравнение (11.7) и последующий переход (11.10). Однако, поскольку операции дифференцирования и интегрирования с экспоненциальной функцией (11.7) проще, чем с косинусом, в более сложных случаях при решении уравнений колебаний использование комплексного решения (11.7) оказывается очень полезным.

Комплексное представление гармонических колебаний позволяет с новой точки зрения взглянуть на метод векторных диаграмм. В комплексном представлении векторная амплитуда x1 есть просто графическое изображение комплексного числа x01exp (iα) на комплексной плоскости. Вращение векторной диаграммы с угловой скоростью ω соответствует умножению амплитуды на exp (iωt), а проектирование на действительную ось — операции вычисления действительной части. Таким образом, геометрическое сложение векторных амплитуд можно заменить алгебраическим сложением комплексных амплитуд x01exp (iα).

Особенно эффективным является этот прием в двух случаях:

1) при сложении большого числа колебаний одинаковой амплитуды и кратных начальных фаз. В этом случае слагаемые представляют собой члены геометрической прогрессии. Этот метод будет применен в дальнейшем при сложении когерентных волн;

72

2) при сложении колебаний, получающихся в результате дифференцирования или интегрирования исходного гармонического колебания. В этом случае начальные фазы получаемых колебаний отличаются от исходной на величину кратную π/2. Покажем, что такое изменению фазы происходит, например, при дифференцировании функции вида (11.7):

(11.13)

Можно сформулировать следующие правила обращения с колебаниями, представленными в комплексной форме:

1)умножение комплексной амплитуды на мнимую единицу приводит к повороту вектора амплитуды на угол π/2 против часовой стрелки;

2)дифференцирование уравнения гармонических колебаний приводит к увеличению их фазы на π/2 и умножению амплитуды на частоту ω;

3)интегрирование уравнения гармонических колебаний приводит к уменьшению их фазы на π/2 и делению амплитуды на частоту ω.

Проверку последнего правила полезно проделать самостоятельно. Эти правила будут неоднократно применяться в дальнейшем.

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ

ЧАСТОТЫ. Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Совместив оси Х и Y системы координат с направлениями колебаний и выбрав начальный момент времени так, чтобы начальная фаза колебания по оси Х равнялась нулю, запишем смещение по осям в виде

(11.14)

Эта система уравнений задает траекторию частицы в параметрической форме. Для определения траектории в явной форме исключим из (11.14) параметр t. Разделив обе части второго из уравнений системы на y0, раскрыв косинус суммы и учтя, что в соответствии с первым уравнением cos(ωt) = x / x0, получим

(11.15)

Уединяя радикал и возводя обе части равенства в квадрат, имеем

(11.16)

Окончательно получим уравнение траектории в виде

(11.17)

Уравнение (11.17) представляет собой общее уравнение эллипса.

73

Вданном случае оси эллипса не совпадают с осями координат, но при

α= π/2 уравнение (11.17) упрощается:

(11.18)

В этом виде оно описывает эллипс с полуосями длиной y0, x0, совпадающими по направлению с координатными осями Х и Y.

При α = nπ (здесь n = 0, 1, 2,…) уравнение (11.17) вырождается в уравнение отрезка прямой:

(11.19)

Траектории для α = π/2, π/4, π/8, π/16 и y0 = x0 изображены на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Траектории в форме эллипса при сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ С РАЗНЫМИ ЧАСТО-

ТАМИ. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ. Эллипс представляет собой частный случай траектории частицы, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях. В общем случае такие траектории называются фигурами Лиссажу.

Хотя уравнения этих кривых достаточно сложны, их некоторые общие свойства могут быть сформулированы.

1. Вид траектории зависит только от отношения частот складываемых колебаний. Если это отношение является рациональным числом, то есть ,

где n, m — целые числа, траектория периодически повторяется.

2. Фигура Лиссажу всегда ограничена прямоугольником со сторонами 2y0, 2x0. Траектории всегда касаются сторон этого прямоугольника.

74

3. При рациональном отношении частот отношение числа точек касания, лежащих на оси Х, к числу точек касания, лежащих на оси Y, обратно пропорционально отношению соответствующих частот.

Примеры кривых Лиссажу приведены на рис. 11.4. Полезно самостоятельно проанализировать, какому соотношению частот соответствуют разные фигуры рисунка.

Рис. 11.4. Фигуры Лиссажу

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1. Какова максимальная и минимальная амплитуда результирующего колебания, возникающего при сложении колебаний одинакового направления с амплитудами x01 и x02?

2.При какой разности начальных фаз складываемых колебаний одинакового направления амплитуда результирующего колебания максимальна? Минимальна?

3.Определить амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего при сложении колебаний одинакового направления, описываемых уравнениями: x1 = 2cos(2t + π/2), x1 = 4cos(2t + π/4). Нарисовать векторную диаграмму.

4.Определить траекторию частицы, участвующей во взаимно перпенди-

кулярных колебаниях x = 2cos(2t + π/2), y = 4cos(2t + 3π/2).

5.Начальная фаза гармонического колебания равна π/2, а частота равна

πс-1. Определить зависимость фазы скорости и ускорения от времени.

75