Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

Циркуляция dCz по прямоугольнику есть сумма интегралов по его сторонам. Учитывая, что направление обхода двух сторон совпадает с положительным, а двух — с отрицательным направлением осей координат, имеем

(9.22)

Разложим проекции напряженности Е с точностью до первых степеней приращений аргументов dx, dy:

(9.23)

Здесь dSz есть величина перпендикулярной оси z площадки. Для площадок, перпендикулярных осям х и у, аналогично можно получить

(9.24)

Вектор с компонентами в скобках выражений (9.22) и (9.23) называется ротором Е и обозначается rot E:

(9.25)

Уравнения (9.4) и (9.11) справедливы и для произвольно ориентированных площадок, а не только для тех, чьи плоскости совпадают с координатными плоскостями.

Поэтому закон электромагнитной индукции (9.4) может быть записан в следующей форме:

(9.26)

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Меняя порядок

дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения (9.26), получим закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

(9.27)

Проделав те же операции и для уравнения (9.11), получим закона полного тока в дифференциальной форме:

(9.28)

Совокупность уравнений (9.20), (9.21), (9.27) и (9.28) образует систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Физическое содержание уравнений как в дифференциальной, так и в интегральной форме одинаково. Вопрос, какой из форм пользоваться, решается исходя из особенностей конкретной задачи.

61

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Какие законы выражает каждое из уравнений Максвелла?

2.В чем заключается смысл введения тока смещения?

3.Как из интегральных соотношений получить операцию div?

4.Как из интегральных соотношений получить операцию rot?

5.Чему равна скорость света в веществе с μ = 1, 2, ε = 1,5?

Р а з д е л I I К о л е б а н и я

Глава 10. Гармонические колебания

КОЛЕБАНИЯ. Многие системы в природе и технике имеют одно или несколько состояний устойчивого равновесия. Если система выведена из равновесия внешним воздействием, то происходит самопроизвольное возвращение системы в состояние равновесия под действием внутренних сил. Обычно существует граница внешних воздействий, без выхода за которую система всегда возвращается в состояние равновесия.

Поведение большого числа систем вблизи положения устойчивого равновесия подчиняется общим законам и может быть описано одинаковыми уравнениями. Происходящие при этом процессы характеризуются повторяемостью во времени и носят название колебаний. Мы рассматриваем поведение физических систем, однако для демонстрации общего характера колебательных закономерностей приведем два нефизических примера колебаний. Колебательный характер имеет процесс изменения численности популяции животных при периодическом изменении внешних условий или в экологической системе, состоящей из совокупности хищников и их жертв, например рысей и зайцев. Колеблется около равновесия и цена товара при изменении спроса и предложения.

Проще всего математически описывается поведение системы, состояние которой определяется одним параметром x — отклонением от положения равновесия. Такие системы называются одномерными. Движение системы к положению равновесия обусловлено тем, что в ответ на внешнее возмущение x в системе возникает отклик:

(10.1)

где k(x) — положительная функция, а знак (–) означает, что отклик системы направлен противоположно внешнему воздействию. Такой отклик называется возвращающей силой. Следует понимать определенную условность этого термина. Смысл величины F зависит от характера исследуемого явления, и она не всегда является силой даже для механических процессов. Отклик (10.1) стремится вернуть систему к положению равновесия только при условии k(x) > 0. Это условие

62

и определяет верхнюю границу воздействия k(x) = 0, после перехода через которую k(x) < 0 и система уже не стремится вернуться в исходное состояние.

Приведем примеры физических колебательных систем и выясним смысл возвращающей силы в конкретных случаях. Рассмотрим вначале системы, в которых k(x) есть постоянная величина, и покажем, что поведение таких систем описывается простейшими периодическими функциями времени — cos и sin. Такие колебания называются гармоническими, а системы, их совершающие, — линей-

ными, или гармоническими осцилляторами (в дальнейшем — осцилляторами).

ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕС- КИХ КОЛЕБАНИЙ И ЕГО РЕШЕНИЕ. Рассмотрим поведение пружинного маятника,

то есть тела массой m, движущегося без трения по горизонтальной оси х под действием упругой силы, подчиняющейся линейному закону Гука:

Перенося член -kx в левую часть равенства, деля его на m и вводя обозна-

чение

(10.4)

получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(10.5)

Уравнение (10.5) есть дифференциальное уравнение гармонических коле-

баний. Легко проверить (полезно проделать это самостоятельно), что общее решение уравнения (10.5) имеет вид

(10.6)

Максимальное смещение от положения равновесия x0 называется амплитудой, аргумент гармонической функции α = (ωt + α0) — фазой, величина α0 —

начальной фазой колебаний, а ω — круговой (циклической) частотой. Выбор начальной фазы α0 означает определенный выбор начала отсчета времени, и ее всегда можно сделать для одного независимого гармонического колебания рав-

63

ной нулю за счет изменения начала такого отсчета. Поэтому всюду в дальнейшем, где это не существенно, мы будем полагать α0 = 0. Наряду с ω применяет-

ся связанная с ней простым соотношением величина , называемая час-

тотой (иногда линейной частотой). Поскольку в дальнейшем мы редко будем использовать линейную частоту, прилагательное «круговая» будет опускаться. Частота измеряется в рад/с, но поскольку радианная мера углов является стандартной, то соответствующее указание обычно опускается и пишут 1/с.

Величина ω имеет простой физический смысл. Поскольку период гармонической функции равен 2π, то, если к времени t в уравнении (10.6) добавить слагаемое

(10.7)

значение гармонической функции не изменится. Таким образом, T в (10.7) есть период колебаний.

Свойства системы определяют только частоту ω и, следовательно, период T. Константы x0 и α, возникающие в решении дифференциального уравнения, определяются первоначальным внешним воздействием. При этом амплитуда x0 зависит от его величины, а начальная фаза α определяется моментом времени, от которого ведется отсчет колебаний.

где θ — угол поворота, I — момент инерции маятника относительно оси О, а момент силы тяжести M является в этом случае возвращающей силой и следующим образом выражается через расстояние l от оси вращения до центра масс С и вес тела mg:

(10.9)

Здесь lsin(θ) = h есть плечо силы (рис. 10.2). При малых колебаниях можно считать, что

(10.10)

64

Тогда уравнение (10.8) приобретает вид

(10.11)

Перенося слагаемое в левую часть равенства и деля получающееся равенство на I, имеем уравнение

(10.12)

совпадающее с уравнением (10.5) при заменах x → θ и

(10.13)

Если физический маятник с достаточной для решения конкретной задачи точностью можно описывать моделью материальной точки, то момент инерции имеет вид I = ml2. Такая колебательная система называется математическим маятником.

Моделью математического маятника достаточно хорошо описывается твердое тело, подвешенное на нити, длина которой много больше размеров тела, а масса много меньше массы тела (рис. 10.3). Частота колебаний математического маятника

(10.14)

и зависит только от его длины и ускорения свободного падения.

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕ- НИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ. Физический маят-

ник является примером системы, которую можно лишь приближенно считать линейной. Понятие линейности играет большую

роль в физике и математике и подробно разбирается в курсе линейной алгебры. Для колебательных систем наиболее важным проявлением линейности является то, что если в системе возможны два вида колебаний, то возможно и колебание, являющееся их суммой.

Точность линейного приближения при описании физического маятника определяется выполнением условия (10.10). Выясним, каким требованиям должна удовлетворять система в общем случае, для того чтобы в ней могли происходить гармонические колебания. Как известно из механики, потенциальная энергия U следующим образом связана с силой:

(10.15)

Для упругой силы, подчиняющейся закону Гука (10.2), имеем

(10.16)

65