Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

где C — произвольная постоянная. С другой стороны, разлагая произвольную потенциальную энергию U (x) в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия x = 0, получим

(10.17)

Уравнение (10.17) совпадает с (10.16) при выполнении трех условий:

1. Производная , и, следовательно, в точке x = 0 функция

имеет экстремум. В отсутствие внешних воздействий система может находиться в таком состоянии сколь угодно долго. Это состояние является положением равновесия.

2. >0, и, следовательно, экстремум является минимумом. Поскольку

сила F при x ≠ 0 стремится вернуть систему к положению равновесия, то равновесие является устойчивым. Движение системы в окрестности устойчивого равновесия является периодическим, хотя и не всегда гармоническим.

3. Гармонический характер движение приобретает, когда зависимость потенциальной энергии от координаты мало отличается от параболической. Это выполняется, если смещение x от положения минимума столь мало, что

.

Таким образом, практически в любой системе малые колебания в окрестности устойчивого равновесия являются гармоническими. Этот факт определяет особую важность изучения данного вида колебаний.

Роль возвращающей силы в (10.18) играет напряжение на конденсаторе. После очевидных преобразований приводим уравнение (10.18) к виду

(10.19)

совпадающему с уравнением (10.5) при замене q → x и

(10.20)

66

Формула (10.20) определяет частоту собственных колебаний в идеальном электрическом контуре и называется формулой Томпсона. Решение уравнения (10.19) имеет вид

(10.21)

Сила тока в цепи I, как и величина заряда q, гармонически зависит от времени, поскольку

(10.22)

где введено обозначение для амплитуды силы тока I0 = ωq0.

ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА. Поскольку энергия системы

является одной из основных ее физических характеристик, важно определить ее составляющие и зависимость от времени. Начнем с механических колебаний пружинного маятника. Зная зависимость смещения осциллятора от времени (10.6), можно легко определить зависимость от времени его скорости:

(10.23)

и кинетической энергии от времени:

(10.24)

В последнем равенстве учтено, что в соответствии с уравнением (10.4)

. С другой стороны потенциальная энергия имеет вид

(10.25)

Следовательно, полная механическая энергия осциллятора не зависит от времени:

(10.26)

Поскольку в системе действует только консервативная упругая сила, это утверждение является еще одним случаем прямого подтверждения общего закона сохранения механической энергии.

Как видно из уравнений (10.24), (10.25) и (10.26), максимальные значения кинетической и потенциальной энергий совпадают и равны полной энергии осциллятора

,

а энергия периодически полностью переходит из одного вида в другой.

График зависимости потенциальной (сплошная жирная линия), кинетической (сплошная тонкая линия) и полной энергии (прямая линия) от t при α =π/3, ω = 2π приведен на рис. 10.5. Масштаб по оси ординат выбран так, что полная энергия осциллятора равна единице.

67

Глава 11. Сложение гармонических колебаний и векторные диаграммы

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ. До сих пор мы имели дело с отдельными гармоническими колебаниями. В физике и технике часто встречаются ситуации, когда происходит сложение двух и более гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления. Если эти колебания не влияют друг на друга, то математически эта задача ставится как задача о сложении колебаний, заданных уравнениями отдельных колебаний:

(11.1)

Результирующее колебание является в этом случае суммой отдельных колебаний: x = x1 + x2. Оно, очевидно, имеет ту же частоту, что и складываемые колебания, и может быть записано в виде

(11.2)

Для нахождения результирующего колебания необходимо выразить его амплитуду x0 и начальную фазу α через амплитуды x01, x02 и фазы α1, α2 исходных колебаний. Можно решить эту задачу с помощью тригонометрических соотношений.

Более общие и эффективные подходы основаны на описании гармониче-

ских колебаний с помощью векторной амплитуды или комплексного представления гармонических колебаний.

ВЕКТОРНАЯ АМПЛИТУДА. Введение понятия векторной амплитуды основано на связи гармонических колебаний и равномерного вращения. Его суть состоит в том, что смещение при гармоническом колебании можно представить как проекцию равномерно вращающегося вектора длиной x0 на фиксированную ось, лежащую в плоскости вращения. Проекция задается функцией x = x0cos (ωt + α), в которой аргумент ωt + α соответствует равномерно увеличивающемуся со временем углу поворота вектора относительно оси. Одному обороту вектора соответствует одно колебание, а угловая скорость его вращения совпадает с частотой колебаний.

Для формализации этой идеи выберем произвольно полярную ось и построим вектор x1, называемый векторной амплитудой первого колебания, по следующим правилам (рис. 11.1):

1.Угол между осью и x1 равен начальной фазе α1 первого колебания.

2.Длина вектора x1 равна амплитуде x01 первого колебания.

Если равномерно вращать вектор x1 против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то угол между полярной осью и векторной амплитудой будет равен (ωt + α1). Проекция вектора на ось равна x01cos (ωt + α1) и совпадает со смещением x1. Таким образом, вращающийся вектор x1 представляет гармоническое колебание.

69

t

Рис. 11.1. Векторная диаграмма сложения двух гармонических колебаний

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ И

НАПРАВЛЕНИЯ. Отложим векторную амплитуду x2 от конца вектора x1 (рис. 11.1) в момент времени t = 0. Поскольку проекция на ось вектора x2, вращающегося вместе с x1, равна x02cos(ωt + α1), то проекция вектора x = x1 + x2 описывает суммарное колебание. Результат графического сложения векторных амплитуд называется векторной диаграммой. Таким образом, сумма векторных амплитуд складываемых колебаний представляет собой векторную амплитуду суммарного колебания. Частоты складываемых колебаний одинаковы, вследствие чего треугольник ОDВ, показанный на рис. 11.1, с течением времени не деформируется. Применяя теорему косинусов к треугольнику ОDВ, получаем для квадрата амплитуды x0 следующее выражение:

(11.3)

Из треугольника ОСВ получаем соотношение для начальной фазы α результирующего колебания:

(11.4)

БИЕНИЯ. Тем же методом может быть исследована и картина сложения колебаний двух различных частот ω и ω + ω. Поскольку в этом случае отрезки ОD и DВ вращаются с различными скоростями, треугольник ОDВ перестает

70