Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

Глава 9. Уравнения Максвелла

Изученные нами законы электродинамики можно свести теперь к четырем уравнениям в интегральной форме:

(9.1)

(9.2) (9.3)

(9.4)

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

Первое уравнение (9.1) показывает, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Второе уравнение (9.2) демонстрирует замкнутость линий индукции магнитного поля и отсутствие источников (зарядов) магнитного поля. Третье уравнение (9.3) представляет собой теорему о полной циркуляции вектора напряженности магнитного поля, в которой полный ток выражен через вектор плотности тока. Уравнение (9.4) является записью закона электромагнитной индукции Фарадея.

ТОК СМЕЩЕНИЯ. Максвелл обратил внимание на то, что в уравнениях, справедливых для постоянных токов, отсутствует симметрия между электрическим и магнитным полями. Действительно, в соответствии с уравнением (9.4) переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле и следует ожидать, что и переменное электрическое поле должно порождать магнитное поле. В то же время уравнение (9.3) показывает, что вихревое магнитное поле создается только за счет тока электрических зарядов.

Для того чтобы устранить такую несимметричность теории, рассмотрим протекание переменного тока в цепи с конденсатором, как показано на рис. 9.1. Если вычислить циркуляцию магнитного поля по контуру, охватывающему поверхность S1, то в соответствии с уравнением (9.3) получится некоторое ненулевое значение.

Рис. 9.1. Расположение поверхностей при определении величины тока смещения в конденсаторе

56

Если теперь деформировать поверхность таким образом, что она замкнется через пространственный промежуток между пластинами конденсатора, то поток вектора плотности тока проводимости j теперь будет равен нулю, в то время как контур не изменился и циркуляция магнитного поля осталась ненулевой. Это приводит к нарушению справедливости уравнения (9.3). Следовательно, для того чтобы уравнение сохранило свою справедливость и в этом случае, электрическое поле в конденсаторе должно создавать такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток, имеющий такую же силу, как и в подходящих к конденсатору проводниках. Это условие позволяет найти связь между переменным электрическим полем внутри конденсатора и создаваемым им магнитным полем. В соответствии с уравнением для напряженности электрического поля внутри конденсатора

(9.5)

модуль вектора электрической индукции равен поверхностной плотности заряда на положительной обкладке конденсатора:

(9.6)

Следовательно, заряд обкладки пропорционален ее площади и величине вектора электрической индукции:

(9.7)

Если за время dt заряд конденсатора меняется на dq, в проводах течет ток, называемый током смещения силой

(9.8)

и плотностью

(9.9)

Знак частной производной в уравнении (9.9) отражает тот факт, что для неоднородного электрического поля D (r, t) магнитное поле возникает только за счет изменения вектора электрической индукции D во времени. Если в проводнике течет переменный ток, то в нем одновременно существуют и направленное движение зарядов, называющееся током проводимости, и переменное электрическое поле. Поэтому плотность полного j тока складывается из плотностей токов проводимости jпр и смещения jс:

(9.10)

При таком определении полного тока его линии являются замкнутыми, вследствие чего поток вектора полного тока теперь не меняется при деформациях поверхности. В частности, поток оказывается одинаковым для поверхностей S1 и S2 на рис. 9.1. Наличие тока смещения, плотность которого пропорциональна скорости изменения электрического смещения, восстанавливает симметрию электрического и магнитного полей. Теперь не только переменное

57

магнитное поле в соответствии с (9.4) порождает электрическое, но и переменное электрическое поле порождает магнитное. Заменяя в уравнении (9.3) ток проводимости на полный ток (9.10), окончательно получим уравнение Максвелла

(9.11)

Здесь и далее под j будет пониматься плотность тока проводимости, а индекс «пр» будет опущен. Уравнение (9.11) предусматривает возможность возбуждения вихревого магнитного поля за счет переменного электрического поля.

СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. Взаимосвязь электрического и

магнитного полей объясняет появление и распространение электромагнитных волн. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну и определим скорость ее распространения. Плоская электромагнитная волна характеризуется тем, что она во всех точках пространства имеет одинаковое направление распространения. Рис. 9.2 изображает часть плоской волны. Передняя часть волны (крайняя правая на рис. 9.2) называется фронтом волны. Фронт волны лежит в плоскости, перпендикулярной к направлению ее распространения (перпендикулярно к плоскости рисунка). За фронтом волны (на рис. 9.2 слева) имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е, перпендикулярной плоскости чертежа, направленное от нас (оно изображено в сечении крестиками), и однородное магнитное поле с напряженностью Н, направленной вверх в плоскости чертежа.

Такая волна может возникнуть, например, при быстрой зарядке полубесконечной плоскости. Спереди от фронта волны (на чертеже справа) нет ни электрического, ни магнитного поля. Фронт волны движется направо со скоростью V. Выберем квадратный контур в плоскости чертежа, как показано на рис. 9.2.

Тогда до достижения фронтом волны правой стороны контура интеграл теоремы о полной циркуляции по периметру квадрата равен просто HL. Чтобы пересечь квадрат шириной L, волне требуется время t, определяемое соотноше-

58

нием t = L / V, где V — скорость распространения волны. Полное изменение потока вектора электрической индукции за это время равно . Скорость изменения потока равна

.

В соответствии с уравнением Максвелла (9.11) , то есть

(9.12)

Аналогичным образом, выбирая квадратный контур в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, получим из уравнения Максвелла (9.4)

(9.13)

то есть . Подставляя (9.13) в (9.12), получим выражение для скорости распространения электромагнитной волны в виде

(9.14)

Мы рассмотрели уравнения Максвелла в интегральной форме. Часто, когда задача не обладает симметрией, более перспективным оказывается путь, основанный на дифференциальной форме уравнений Максвелла. Дифференциальной называется такая форма уравнений, в которой все входящие в них величины заданы в одной точке.

Исходя из этого определения ясно, что для получения дифференциальной формы необходимо сделать бесконечно малыми области интегрирования в уравнениях (9.1), (9.2), (9.4) и (9.11).

ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛУЮ ПОВЕРХНОСТЬ. Рассмотрим

вначале, как выглядит при стягивании в точку поверхности выражение для потока вектора.

Вычислим поток произвольного вектора (например, D) через поверхность бесконечно малого куба, три грани которого совпадают с координатными плоскостями, а длины ребер равны dx, dy, dz (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Форма поверхности для вычисления локального потока

59

Рассмотрим поток через грани, перпендикулярные оси х. Поскольку нормаль к правой грани направлена в положительном, а к левой — в отрицательном направлении оси х, поток d x есть разность модулей потоков через эти грани:

(9.15)

Аналогично для граней, перпендикулярных к осям у и z, имеем

(9.16)

Суммируя (9.15) и (9.16), получим поток через всю поверхность:

(9.17)

В теории поля выражение называется дивергенцией вектора D и обозначается divD. Используя это обозначение, имеем

(9.18)

где dV — элемент объема. Следовательно, интегрирование по поверхности в левой части уравнения (9.1) можно заменить интегрированием по заключенному в ней объему:

(9.19)

Уравнение (9.1) можно переписать в дифференциальной форме:

(9.20)

Аналогично из уравнения (9.2) получим

(9.21)

60