Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

Разделяя в (14.18) переменные и интегрируя полученное уравнение, имеем

(14.19)

Интеграл (14.19) дает зависимость времени от угла: t (θ). Вычисляя обратную функцию, можно найти искомую зависимость углового перемещения от времени θ (t). Интеграл (14.19) не берется в элементарных функциях, и аналитическое исследование зависимости θ (t) требует знаний, выходящих за рамки стандартного курса математики технического университета.

ПЕРИОД НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Период Т нелинейных колебаний, в отличие от периода гармонического осциллятора, зависит не только от параметров маятника, но и от амплитуды колебаний и не является элементарной функцией. Вычислим первую поправку к периоду гармонического осциллятора. Очевидно, что период Т равен учетверенному времени прохождения от положения равновесия до максимального отклонения θ0.

(14.20)

При малых значениях θ0 можно ограничиться членами первого порядка в разложении периода в ряд по величине :

(14.21)

Первое слагаемое совпадает с периодом гармонических колебаний, а второе представляет собой поправку первого порядка по параметру , свя-

занную с нелинейным характером колебаний. Остальные члены разложения в ряд периода по степеням параметра a могут быть получены при учете старших членов разложения в ряд интеграла (14.20).

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Выразите потенциальную энергию колебаний одинаковых связанных осцилляторов через их нормальные координаты.

2.Выразите полную энергию колебаний одинаковых связанных осцилляторов через их нормальные координаты.

3.Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении только синфазной моды.

4.Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении только противофазной моды.

5.Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении обеих мод.

6.Как изменяется период колебаний физического маятника при увеличении амплитуды колебаний?

91

Глава 15. Фазовые траектории. Автоколебания

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ. Решение уравнений дви-

жения для нелинейных колебаний значительно сложнее, чем в случае линейных систем. Существует, однако, метод, позволяющий выявить общий характер движения и его качественные черты без решения уравнений движения. Этот метод основан на понятии фазового пространства (в частном случае одномерного движения, который и будет рассматриваться в дальнейшем, — фазовой плоскости). Фазовая плоскость дает наглядный «портрет» динамической системы и позволяет одновременно охватить взглядом полный набор возможных движений, которые могут возникнуть при различных начальных условиях.

Пусть положение частицы определяется одной координатой q. Тогда фазовой плоскостью называется плоскость, определяемая декартовой системой координат, по оси ординат которой откладываются значения координаты q, а по оси абсцисс — скорости частицы . Каждому состоянию физической системы соответствует одна точка фазовой плоскости, называемая изображающей. Каждой точке фазовой плоскости соответствует одно состояние системы. Изменению состояния системы соответствует движение изображающей точки по кри-

вой, называющейся фазовой траекторией.

ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ И ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ. Как

известно, смещение гармонически колеблющейся точки описывается уравнением

(15.1)

Скорость определяется равенством

(15.2)

Уравнения (15.1) и (15.2) описывают гармонические колебания одинаковой частоты, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям осей q и фазовой плоскости. Метод определения траектории движения частицы, одновременно участвующей в таких колебаниях, описан в главе 11. Деля обе части уравнений (15.1) и (15.2) на коэффициенты при тригонометрических функциях, возводя полученные равенства в квадрат и складывая их, получим уравнение фазовой траектории

(15.3)

Это уравнение семейства эллипсов с постоянным отношением осей, пропорциональных амплитуде колебаний, по которым происходит движение изображающей точки (рис. 15.1).

Периодическим движениям соответствуют замкнутые фазовые траектории. Состоянию равновесия соответствует фазовая траектория, выродившаяся в точку (при q0, q, → 0).

92

Движение при этом не является периодическим, вследствие чего фазовые траектории не замкнуты.

ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Уравнение (14.17) зада-

ет фазовую траекторию физического маятника:

(15.6)

Вид решения определяется значением безразмерного параметра a.

1. Пусть a < 1. С физической точки зрения это условие означает, что энергии маятника недостаточно для того, чтобы он достиг верхнего положения. Это

означает, что sin2θ/2 ≤ a. Такие фазовые траектории являются замкнутыми, а движение маятника периодическим (кривые 1 на рис. 15.3).

2.Если a = 1, то маятник имеет в верхнем положении нулевую скорость. Условие точного равенства физически не может быть реализовано. Исследование такого рода фазовых траекторий имеет смысл для отделения одних видов движения от других. В этом случае фазовая траектория называется сепаратрисой (от лат. separate — «разделяю»). На рис. 15.3 сепаратрисы изображены кривыми 2.

3.При a > 1энергии маятника достаточно для того, чтобы он не только достиг верхнего положения, но и продолжал движение. Уравнение (15.6) определено при всех углах отклонения. Фазовые траектории незамкнуты, и движение маятника является неограниченным (кривые 3 на рис. 15.3). Маятник совершает неравномерное вращательное движение в течение неограниченного времени.

Рис.15.3. Фазовый портрет нелинейных колебаний физического маятника

АВТОКОЛЕБАНИЯ. ЧАСЫ. Перед тем, как дать определение автоколебаний, рассмотрим пример часового механизма, на котором будут продемонстрированы основные свойства автоколебательных систем. Часовой механизм обязательно содержит следующие три части:

1. Колеблющаяся система (физический или крутильный маятник, кварцевый кристалл и т. д.). В дальнейшем для определенности будем говорить о маятнике.

94

2.Источник энергии (гиря, пружина, источник постоянной ЭДС и т. д.).

3.Спусковой механизм, связывающий источник энергии с колеблющейся системой. Эта связь состоит в том, что при определенном положении маятника или через определенные промежутки времени спусковой механизм передает колеблющейся системе фиксированный кратковременный импульс.

Рассмотрим фазовые траектории часового механизма. Между толчками спускового механизма происходят затухающие колебания, и фазовые траектории имеют вид спиралей (рис. 15.4).

Рис. 15.4. Фазовый портрет автоколебаний

Уменьшение размеров спирали определяется работой А силы трения за время между толчками. Поскольку модуль силы вязкого трения уменьшается с уменьшением скорости, работа А тем меньше, чем меньше размеры траектории. Через равные промежутки времени спусковой механизм увеличивает скорость маятника на фиксированную величину (вертикальные скачки на фазовой траектории на рис. 15.4) и, следовательно, увеличивает энергию на величину ΔE. Для спиралей малого начального размера ΔE > A после каждого толчка спускового механизма энергия маятника растет, и размеры спирали увеличиваются (рис. 15.4). Этот рост прекращается при выполнении условия ΔE = A.

С другой стороны, для спиралей большого начального размера энергия внешнего источника, передаваемая маятнику спусковым механизмом, меньше работы силы трения: ΔE < A. В этом случае размеры спирали уменьшаются. Это уменьшение прекращается при выполнении условия ΔE = A. При выполнении условия ΔE = A фазовая траектория становится замкнутой и, следовательно, колебания становятся периодическими. Такой цикл, который устанавливается вне зависимости от начальных условий, называется предельным. На рис. 15.4 фазовая точка траектории из точки (0,1) за 16 циклов выходит на предельный цикл, фазовым изображением которого является эллипс с полуосями (0.4,2.2).

95