Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.За 1 мин амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во сколько раз она уменьшится за 1,5 мин?

2.За 1 мин энергия затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во сколько раз она уменьшится за 1,5 мин?

3.За 1 мин амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во сколько раз уменьшится их энергия за 1,5 мин?

4.Колебательный контур состоит из сопротивления в 1 Ом, индуктивности в 0,001 Гн и конденсатора емкостью в 10-6 Ф. Определить частоту колебаний, время затухания и добротность контура.

Глава 13. Вынужденные колебания. Резонанс

Во всякой реальной колебательной системе возникающие за счет первоначального толчка колебания вследствие диссипации энергии с течением времени затухают. Чтобы поддерживать в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потерю энергии за счет внешних источников. Если эта компенсация происходит периодически, возникают вынужденные колебания. Простейшим случаем периодического внешнего воздействия является гармоническое воздействие.

ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Схема цепи, в которой возникают вынужденные электрические колебания, содержит сопротивление R, катушку индуктивности L, конденсатор С и источник переменной ЭДС ε с гармонической зависимостью ее величины от времени (рис. 13.1).

Закон Ома для замкнутой цепи в этом случае имеет вид

ние ее свободных колебаний с собственной частотой, определяемой однородным уравнением, и колебаний под действием внешней силы. Однородное урав-

81

нение, соответствующее (13.2), есть уравнение затухающих колебаний, и его решение уже получено в предыдущей главе. Запишем его в комплексном виде:

(13.3)

Далее будем искать частное решение неоднородного уравнения в комплексной форме:

(13.5)

Подставив (13.5) в (13.2) и учитывая, что 1/i = -i, получим

(13.6)

Здесь использованы правила дифференцирования и интегрирования экспоненциальных функций вида (13.5). Сокращая множитель exp(iωt) в обеих частях равенства, преобразуем соотношение (13.6) к виду

(13.7)

откуда получаем комплексную амплитуду тока

(13.8)

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний содержит два слагаемых:

1)затухающее со временем слагаемое вида (13.3);

2)незатухающее со временем слагаемое (13.5), амплитуда которого (13.8) не зависит от времени.

Режим колебаний, при котором необходимо учитывать оба слагаемых, называется переходным. Время релаксации большинства реальных систем мало, и их поведение довольно быстро становится практически стационарным. Векторная диаграмма для стационарных колебаний в контуре приведена на рис. 13.2. Коэффициент пропорциональности Z между током и ЭДС, играющий для переменного тока ту же роль, что и сопротивление для постоянного тока, называется импедансом, а выраженное через Z соотношение между ЭДС и током

82

В соответствии с (13.7) импеданс следующим образом выражается через параметры цепи и частоту:

(13.10)

Комплексную величину Z можно представить в виде

(13.11)

(13.13)

Формула (13.13) определяет начальную фазу тока. Модуль амплитуды тока

(13.14)

а разность фаз между ЭДС и током в цепи совпадает с фазой импеданса θ.

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ. Как видно из уравнения (13.14), амплитуда силы тока в цепи существенно зависит от частоты ω внешней вынуждающей силы и

(13.15)

Явление, заключающееся в резком возрастании амплитуды вынужденных колебаний силы тока при стремлении частоты внешней силы к фиксированному значению ωr, называется резонансом напряжений. Из уравнения (13.15) следует формула Томпсона для величины резонансной частоты:

(13.16)

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой идеализированного контура с сопротивлением R = 0. Высота и ширина резонансного максимума зависят от величины активного сопротивления. Графики зависимости амплитуды тока от частоты при различных активных сопротивлениях приведены на рис. 13.3.

Как следует из уравнения (13.14), в точке резонанса импеданс действителен и совпадает с активным сопротивлением: Z = R. С другой стороны, в соответствии с (13.13)

(13.17)

и, следовательно, сдвиг фаз между током и ЭДС равен нулю: θr = 0. Этот факт делает понятной физическую причину возрастания амплитуды тока в резонансе. Поскольку в резонансе ток и ЭДС находятся в одной фазе, то нет моментов времени, в которые ЭДС противодействует возрастанию тока.

83

Поскольку уравнение (13.1) решалось относительно функции тока , все сделанные ранее выводы относительно зависимости силы тока от частоты теперь справедливы для скорости после замен

(13.21)

В частности, импеданс механического осциллятора равен

(13.22)

и, аналогично резонансу токов, положение резонанса скоростей не зависит от сопротивления среды. Физически понятна также причина увеличения амплитуды скорости в резонансе. Поскольку фаза скорости и вынуждающей силы совпадают, внешняя сила всегда увеличивает скорость осциллятора. При не равной нулю разности фаз существуют части периода, когда сила и скорость имеют разные знаки и, следовательно, внешняя сила тормозит осциллятор.

В отличие от резонанса скоростей, положение резонанса смещений зависит не только от массы и коэффициента упругости, но от сопротивления среды:

. В результате интегрирования гармонической функции в знаменателе появляется множитель , и экстремум смещения наблюдается при условии

(13.23)

Отсюда либо ω = 0, либо резонансная частота

(13.25)

Экстремум =0 является минимумом и соответствует статической силе, не приводящей к вынужденным колебаниям. Из уравнения (13.25) видно, что с увеличением силы трения положение резонанса смещений сдвигается в сторону малых частот. График зависимости амплитуды смещения от частоты приведен на рис. 13.5.

Рис. 13. 5. График зависимости амплитуды смещения от частоты

85