Материал: Электричество и магнетизм. Колебания . курс лекций для студентов всех специальностей. Головинский П.А., Преображенский М.А

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Нарисуйте график зависимости смещения вынужденных колебаний от времени для интервалов времени, меньших времени релаксации.

2.Нарисуйте график зависимости смещения вынужденных колебаний от времени для вынуждающей силы, представляющей собой короткие периодические толчки с периодом, превышающим время релаксации.

3.Нарисуйте векторную диаграмму для скоростей механического осциллятора, движущегося под действием силы с нерезонансной частотой.

4.Нарисуйте векторную диаграмму для скоростей механического осциллятора, движущегося под действием силы с резонансной частотой.

5.Нарисуйте векторную диаграмму для смещений механического осциллятора, движущегося под действием силы с нерезонансной частотой.

Глава 14. Связанные колебания. Нелинейные колебания

До сих пор мы рассматривали поведение изолированных осцилляторов, но в природе осцилляторы редко находятся в полной изоляции. Чаще они взаимодействуют с другими осцилляторами, вследствие чего становится возможным перенос энергии от одной колебательной системы к другой. В том случае, если взаимодействие происходит за счет диссипативных элементов (электрического сопротивления, силы трения и др.), происходит потеря энергии и затухание колебаний. В противоположном случае, если взаимодействие происходит за счет реактивных элементов (емкости, индуктивности, пружины и др.), возможен перенос энергии через большое число осцилляторов. Этот механизм представляет собой основу волнового движения.

ОСЦИЛЛЯТОРЫ, СВЯЗАННЫЕ УПРУГИМИ СИЛАМИ. Рассмотрим два одинако-

вых математических маятника массой m и длиной l, связанных невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Длина недеформированной пружины равна расстоянию между находящимися в равновесии телами (рис. 14.1).

Рис. 14.1. Система двух связанных маятников

86

Будем рассматривать малые колебания в плоскости чертежа. Обозначим смещения точечных масс от их положения равновесия через х и y соответственно. Уравнения движения имеют вид

(14.1)

Введем обозначения

(14.2)

Перепишем уравнения (14.1) в виде

(14.3)

Решение системы двух уравнений (14.3) уже довольно сложно. График зависимости смещения х от времени, имеющий вид биений, приведен на рис. 14.2.

Рис. 14.2. График зависимости смешения одного из маятников от времени

Трудности решения быстро нарастают с ростом числа связанных элементов. Однако для любой физической системы, в которой действуют только возвращающие силы, можно ввести функции, удовлетворяющие независимым уравнениям колебательного движения.

Эти новые функции линейно связаны со смещениями отдельных элементов от положения равновесия, и их зависимость от времени является чисто гармонической.

НОРМАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ, НОРМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ. Проиллюстрируем

этот факт на примере двух связанных математических маятников. Введем две новые функции:

(14.4)

Функция Х с точностью до множителя 1/2 совпадает с координатой центра масс системы. Функция Y описывает относительное движение материальных точек в системе центра масс.

87

Складывая уравнения (14.3), получаем

(14.5)

С учетом (14.4) имеем уравнение

(14.6)

с гармоническим решением

(14.7)

Вычитая уравнения (14.3), получим уравнение

(14.8)

решением которого является гармоническая функция

(14.9)

Таким образом, движение системы упруго связанных осцилляторов описывается двумя функциями, каждая из которых удовлетворяет уравнению гармонических колебаний с разными частотами, определяемыми уравнениями (14.2) и (14.10). Переменные, позволяющие привести систему уравнений движения к набору уравнений независимых колебаний, называются нормальными переменными, соответствующие им частоты — нормальными частотами, а

решения отдельных уравнений — нормальными модами. Для двух одинаковых связанных осцилляторов нормальные переменные имеют вид (14.4).

Выражая смещения отдельных осцилляторов через нормальные моды

(14.11)

мы получим сложение гармонических колебаний одинакового направления и разных частот. Результатом такого сложения будут биения (рис. 14.2). Для однозначного определения зависимости смещений элементов системы от положения равновесия, кроме решений дифференциальных уравнений (14.3), необходимо знать также начальные условия: координаты и скорости в начальный момент времени . Коэффициенты Ax, Bx, Ay, By, с которыми нормальные моды входят в решение исходной системы, определяются начальными условиями.

Существуют два предельных случая, когда нормальные моды можно наблюдать по отдельности. Если мы выведем оба осциллятора из положения равновесия на одинаковое расстояние и одновременно их отпустим, как показано на рис. 14.3, то они будут колебаться в одной фазе и пружина останется недеформированной.

Вследствие этого осцилляторы будут колебаться независимо, и во все моменты времени x = y и Bx = By = 0 (синфазная мода). Движение полностью описывается уравнением (14.6), частота колебаний обоих маятников совпадает

88

с частотой колебаний отдельного свободного маятника ω0, а жесткость связи не оказывает влияния на движение.

Рис. 14.3. Синхронные колебания двух одинаковых связанных маятников

Рис. 14.4. Колебания двух связанных маятников в противофазе

Если мы выведем оба осциллятора из положения равновесия, сместив на одинаковые по модулю, но противоположные по знаку расстояния, и одновременно их отпустим (рис. 14.4), то во все последующие моменты времени смещения x = -y и Ax = Ay = 0 (противофазная мода). Это движение полностью описывается уравнением (14.8). Частота таких колебаний больше частоты колебаний отдельного маятника.

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА. Ранее мы изучили

колебания системы в малой окрестности положения устойчивого равновесия, которые всегда являются гармоническими. Теперь рассмотрим движение, возникающее при снятии ограничения на амплитуду колебаний. Вернемся к уравнению движения физического маятника (10.8)

(14.12)

Это дифференциальное уравнение уже не является линейным уравнением с постоянными коэффициентами и не может быть решено использованными ранее методами. Поскольку в системе действуют только консервативные силы, для поиска решения можно применить закон сохранения механической энергии

89

и понизить степень дифференциального уравнения. Кинетическая энергия вращающегося тела следующим образом связана с моментом инерции I и угловой скоростью :

(14.13)

Потенциальную энергию будем считать равной нулю в нижнем положении маятника при θ = 0, то есть начало отсчета энергии понизим на величину l от точки подвеса О (рис. 14.5).

Тогда

(14.14)

и закон сохранения механической энергии имеет вид

(14.16)

выделим из уравнения (14.15)

(14.17)

Здесь частота ω0 совпадает с частотой малых гармонических колебаний рассматриваемого физического маятника. Режим движения маятника зависит от соотношения между полной энергией маятника E и его максимальной возможной потенциальной энергией Umax = 2mgl.

Если E < Umax, существует угол поворота θ0, при котором энергия полностью переходит в потенциальную, а кинетическая энергия, следовательно, и угловая скорость становятся равными нулю. В соответствии с уравнением (14.17) при равной нулю левой части должно выполняться равенство

.

Таким образом, θ0 есть угловая амплитуда колебаний, которые совершает маятник при выполнении условия E < Umax.

Вслучае если E > Umax, справедливо неравенство a > 1 и в процессе движения маятник проходит наивысшую точку, продолжая вращательное движение в том же направлении.

Вслучае колебательного режима, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (14.17), получим

(14.18)

90