Материал: Дискретное преобразование Фурье

При n = 0 имеем Во = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S0? Ao? Ro ? (1/T) s(t) dt.

Тригонометрическая форма рядов Фурье

Объединяя в (1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S0), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = Ао+2(An cos(nDwt) + Bnsin(nDwt)), (6) s(t) = Ао+2Rn cos(nDwt + jn). (6')

Значения An, Bn вычисляются по формулам (4-5), значения Rn и jn - по (3').

Ряд (6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2An, 2Bn) не что иное, как реальные амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис.1, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения Ао на нулевой частоте, которое, как это следует из (6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко.

В технических приложениях более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (6'). Спектр амплитуд косинусных гармоник 2Rn при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник - фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно p/2.

Рис. 5 - Расположение в ряд Фурье

На рис.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выполненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Любой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100 членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда Sn и только по области положительных значений n.

Программа на рис.5 продолжает программу рис.4 и показывает реконструкцию сигнала по его спектру при ограничении числа членов ряда Фурье.

На верхнем графике рисунка приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = ws/Dw), N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала.

Рис. 6 - Реконструкция сигнала по ограниченному ряду Фурье

сигнал синусоида фурье спектр

На рис.6. приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумовым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределение энергии шумов по всем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информационного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только информационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму среднеквадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигналу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции информационного сигнала.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (1-6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. При этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис.7. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

Рис. 7

При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Рис. 8

Преобразование Лапласа

Если условие (9) не выполняется, то определенные приближения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является одностороннее преобразование Лапласа.

Рис. 9

Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции (2) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(-st), где s - положительная константа, и выберем значение s таким, чтобы произведение u(t) = s(t)exp(-st) удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис.6 (s=с). Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента s. При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (2):

U(w,s) =[s(t) exp(-st)] exp(-jwt) dt.

После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом:

U(s+jw) =s(t) exp[-(s+jw)t] dt.(10)

Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U(s+jw):

(1/2p)U(s+jw) exp(jwt) dw = s(t) exp(-st).

Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на exp(st), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования w на s+jw:

s(t) = (1/2pj)S(s+jw) exp[(s+jw)t] d(s+jw). (11)

Обозначим комплексную переменную s+jw в выражениях (10,11) через р(оператор Лапласа) и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:

S(p) =s(t) exp[-pt] dt. (10')

s(t) = (1/2pj)S(p) exp(pt) dp. (11')

Рис. 10

Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) - изображением оригинала. Пример спектральной функции Лапласа для оригинала - сложного и неограниченного во времени сигнала, состоящего из каузальной суммы трех гармоник, приведен на рис. 4.2.7. По спектральной функции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их амплитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении "чистых" гармоник зависит от значения коэффициента s и уменьшается при его уменьшении.

Преобразование Лапласа справедливо только в области сходимости интеграла (4.2.10), которая определяется абсциссой абсолютной сходимости s0 (при s ? s0):