Контрольная работа: Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції

Доведення теореми 3.2.

Використовуючи теорему 3.1 (2) і останню тотожність в (2.1), ми отримаємо

Звідси отримуємо (1). З (2.6) і (3.1),

Тоді (2) випливає з теореми (3.1), і (3) виводиться застосуванням теореми (3.1) (2).

Ця тотожність необхідна для доведення (4). Так

Котре, в силу (3.1) дає

Таким чином

Тепер,  З іншої сторони, з (1) ми маємо:

Таким чином, ми отримуємо (4), бажану формулу відстані (2.9).

Звичайно, це являє собою великий інтерес для обчислення Для і=0 - й крок проблема прогнозування була вирішена в [1], [10] з додатковою гіпотезою, що

Для всіх , де коефіцієнти  визначаються наступним чином:

Використовуючи цей результат і співвідношення двоїстості (2.4),  знаходиться в [2]. Здається, цілком імовірно, що одномірний метод ортогоналізації який використовується в [2, теорема 5], може бути продовжений до , а потім за допомогою відношення двоїстості (2.4), можна також обчислити . Вздовж цього розширення набору індексів  може знадобитися припущення про місце нулів  впродовж кількох n, що піднімає питання про існування нетривіальних вагових функцій , які задовольняють ці умови.

2. Основні результати

.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію

Приклад 1

Розглянемо спектральну щільність виду

Маємо . Звідси можемо одразу визначити коефіцієнти :

Для визначення коефіцієнтів  розглянемо розклад виду

 тобто перепишемо нашу щільність

Подамо у вигляді суми геометричної прогресії , звівши до відповідного вигляду отримаємо

Підставимо у праву частину рівності замість

Тепер легко можна записати коефіцієнти

Перевіримо виконання умов

Тепер знайдемо стандартне відхилення для набору індексів

Для множини

Стандартне відхилення для набору  матиме вигляд

Приклад 2

Розглянемо тепер щільність виду, а саме

Проведемо ту ж саму процедуру визначення коефіцієнтів  і ::

:

Перевіримо виконання умов

Стандартні відхилення у цьому випадку будуть

Висновок

В даній роботі були розглянуті основні проблеми та гіпотези задач прогнозу стаціонарних випадкових послідовностей (у широкому сенсі), спектральний розклад кореляційної функції та спектральне представлення стаціонарних регулярних послідовностей і. У роботі досліджено задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, яка проливає світло на труднощі при обчисленні  для , розглянуто два приклади застосувань теорії для гіпотез про двоїстість та ортогонлізацію, а саме дві спектральні щільності з прямим та оберненим способом відшукання коефіцієнтів ряду Фур’є, знайдено вирази для знаходження коефіцієнтів  та , перевірено виконання умов регулярності, знайдено значення величин стандартних відхилень для наборів індексів .

Література

1. S. Cambanis and A.R. Soltani, Prediction of stable processes: Spectral and moving average representations, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 66 (1984), 593-612. MR0753815 (86g:60054)

. R. Cheng, A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Some extremal problems in , Proc. Amer. Math. Soc.126 (1998), 2333-2340. MR1443377 (98j:42003)

. P.L. Duren, Theory of  Spaces, Academic Press, New York, 1970. MR0268655 (42:3552)

. M. Frank and L. Klotz, A duality method in prediction theory of multivariate stationary sequences, Math. Nachr.244 (2002), 64-77. MR1928917 (2003m:60105)

. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969. MR0410387 (53:14137)

6. L. Klotz and M. Riedel, Some remarks on duality of stationary sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 225-228. MR1899439 (2003b:60050)

. A.N. Kolmogorov, Stationary sequences in a Hilbert space, Bull. Moscow State University 2 (1941), 1-40.

. A.G. Miamee, On basicity of exponentials in  and general prediction problems, Period. Math. Hungar. 26 (1993), 115-124. MR1230571 (94k:60066)

. A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Best approximation in  and prediction problems of Szego, Kolmogorov, Yaglom and Nakazi, J. London Math. Soc. 38 (1988), 133-145. MR0949088 (90g:60042)

. T. Nakazi, Two problems in prediction theory, Studia Math. 78 (1984), 7-14. MR0766702 (86i:60122)

. T. Nakazi and K. Takahashi, Predictionnunits of time ahead, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 658-659. MR0587949 (82b:60041)

. M. Pourahmadi, Taylor expansi on  and some applications, Amer. Math. Monthly 91 (1984), 303-307. MR0740245 (85e:30003)

. M. Pourahmadi, Two prediction problems and extensions of a theorem of Szego, Bull. Iranian Math. Soc.19 (1993), 1-12. MR1289507 (95j:60061)

. M. Pourahmadi, Foundations of Prediction Theory and Time Series Analysis, John Wiley, New York, 2001. MR1849562 (2002f:62090)

. K. Urbanik, A duality principle for stationary random sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 153-162. MR1808671 (2001j:60072)

. N. Wiener and P.R. Masani, The prediction theory of multivariate stationary processes.II, Act. Math. 99 (1958), 93-137. MR0097859 (20:4325)

. А.Н. Ширяев, Вероятность, Москва «наука», главная редакция физико-математической литературы - 1989