Контрольная работа: Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції

Явний вигляд для  і  в термінах коефіцієнтів ряду Фур’є для  можна знайти в [11] та [12].

Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з , відомо, що

(див. [7], [11], [2]). Це так званий  - й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексів  котрий дорівнює приєднанню наступних  частот до  в [10] показано, що

якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умові  пояснюється встановленням двоїстості між  та  як Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення  із  в  еквівалентно півосі , де . Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основі  в  була зведена до звичайної проблеми прогнозування в . В цілому, для будь-якого набору індексів  із скінченним числом точок із  добавлених чи відібраних, нехай  буде доповненням  до , і для фіксованого , визначимо  та  наступною рівністю:

відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що

якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до , але величина , можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для набору  ця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов’язану з проекцією  на простір Харді . Тим не менш, для загального , визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідають  та  мають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв’язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, для  доповнення еквівалентно , що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження в  відповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення . Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення , що дає:

В цьому пункті ми обчислюємо  для більш загального набору індексів  з  і , тобто

Цей набір індексів має властивості як  так і . Насправді, він зводиться до , коли , в той час як його доповнення  в  має той же вигляд, як і , так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекції  з  на підпростір , може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекцію  на підпростір . Оскільки  ортогональні до , то підпростори  і  можна записати у вигляді наступних ортогональних сум:

Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне, цікавий її зв’язок з , де  (з , де ):

(2.7)

Де  i

Константа  насправді являється коефіцієнтом  у формальному розкладі в ряд -го кроку прогнозу . [16]). Наостанок, бажана відстань:

На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від  або лише від , у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видалення  із  не буде збільшувати відстань від  з  якщо  рівне нулю. Аналогічно з (2.9), додавання  до  не зменшить  якщо . Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функцій  або ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.

.7 Результати і доведення для

В цьому розділі для комплексно значної матриці , ми писатимемо  для матриць  відповідно. Використовуючи зовнішню функцію , ми визначаємо , де  це повний ортонормований базис  такий, що

Ми виражаємо різні проекції в термінах .

Теорема 3.1

Покладемо w - невід’ємна інтегрована функція з . Тоді матимемо наступне:

Задовольняє умову (3.3) нижче.

Для , Теорема 3.1. дає явний вигляд . Він необхідний для проектування  на . В силу (2.6), ми також маємо спроектувати  на одновимірний підпростір  або ж визначити коефіцієнт

де внутрішнім оператором Віповідні результати наведені в наступній теоремі.

Теорема 3.2

Покладемо w - невід’ємна інтегрована функція з . Тоді мають місце наступні твердження:

Нехай . Для визначення проекції на  - мірного проміжку записів , матриці і  - вектор  необхідні наступні компоненти:

Ми визначимо  - мірний вектор  і  - мірну нижню трикутну матрицю :

наступне представлення  має місце:

де Звідси ми отримуємо

де визначено і зсунуто вектор  вице. В цих позначеннях, нормальне рівняння для  в теоремі 3.1 (1) буде

Крім того, ми визначимо . Тоді в силу (2.1), (2.8) і (2,10),

Оскільки матриця А має ранг один збурення , вона може бути легко інверсована за допомогою оберненої  і співвідношення між  і  описаним в (2.1). Обернена матриця матриці А і інші відповідні результати наведені в наступній лемі.

Лема 3.3

Доведення леми є простим, тому ми його опустимо.

Доведення теореми 3.1.

Виходячи з (3.3) ми вже вище довели (1). Використовуючи представлення в (3.2) і визначення ми маємо

Твердження (2) слідує з леми (3.3) (5), (6). нарешті, ми отримуємо (3) з (2).