Контрольная работа: Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції

Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції

Вступ

Багато прогнозувальних задач стаціонарних випадкових процесів (див. [2], [7], [10], [14]) еквівалентні пошуку відстані від сталої функції 1 до підпростору в , де S - підмножина цілих чисел , e_k = e^-ikλ, w-невід’ємна інтегрована функція на одиничному крузі T, і  це зважений  простір на T з нормою . Тут µ - це Лебегова міра на Т, причому µ(T) = 1. Записуємо

для відстані. Наприклад,  складається із многочленів , і їх границь в  коли індексна множина S, є пів пряма , тобто

У цьому випадку, загальновідома теорема  стверджує, що для ,

якщо ; в іншому випадку  (див., наприклад, [5, p. 156]). У праці [10] для індексної множини  привернула значну увагу до обчислення  коли індексна множина  є  з обмеженою кількістю доданих та видалених точок . На сьогодні, найбільш відомий загальний результат - це Теорема 2 Ченга та ін., яка стверджує, що, для такого ,  є позитивним лише за умови що Однак, задача обчислення  та функції  в , що його досягає, залишається недосяжною, навіть якщо , за винятком кількох особливих випадків, розглянутих у пункті 2. У цій роботі ми розв’язуємо задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, що могла б пролити світло на труднощі, звичайні для цієї сфери досліджень. Пункт 3 представляє результати для  і містить деякі відкриті питання щодо загального .

1. Теоретичні відомості

.1 Стаціонарні послідовності

Нехай  - ймовірнісний простір і  - деяка послідовність випадкових величин. Позначимо через  послідовність

Означення 1

Випадкова послідовність  називається стаціонарною (у вузькому сенсі), якщо для любого  розподіли ймовірностей  співпадають:

Означення 2

Послідовність комплексних випадкових величин  з , , називається стаціонарною (в широкому сенсі), якщо для всіх

Позначимо

І припускаючи, що

Функцію  будемо називати коваріаційною функцією, а  - кореляційною функцією стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності .

.2 Спектральний розклад кореляційної функції

Нехай

де  - ортогональні  випадкові величини з нульовими середніми і . Якщо покласти, що , то ряд  сходиться в середньоквадратичному сенсі і

Введемо функцію

Тоді коваріаційна функція  може бути записана у вигляді інтеграла Лебега-Стілт’єса

Теорема (Герглотц)

Нехай  - коваріаційна функція стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності з нульовим середнім. Тоді на  знайдеться така скінченна міра ,

, що для любого

кореляційний екстраполяція ортогоналізація спектральний

де інтеграл  розуміється як інтеграл Лебега-Стілт’єса по множині .

.3 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей

Теорема 1

Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного  (-м.н.)

При цьому .

Теорема 2

Якщо , то знайдеться така функція , що (-м.н.)

1.4 Регулярні послідовності

Введемо позначення. Нехай  та  - замкнені лінійні многовиди, породжені величинами  і  відповідно. Нехай також

Означення

Стаціонарна послідовністьназивається регулярною, якщо

і сингулярною, якщо

Теорема

Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність  допускає єдиний розклад

де  - регулярна, а  - сингулярна послідовності. При цьому  і  ортогональні (.

Означення

Клас Харді  - це клас аналітичних функцій  у відкритому одиничному колі  на комплексній площин, які задовольняють умову

Теорема (Колмагоров)

Нехай  - не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільність така, що

А саме,  (майже скрізь по мірі Лебега).

І навпаки, якщо  - деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.

.5 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація

Екстраполяція

Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді

де функція  має радіус збіжності  і не має нулів в радіусі

Нехай

- спектральне представлення послідовності .

Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності  може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінка  величини  по  задається формулою

Інтерполяція

Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатам спостережень  «пропущеного» значення .

Позначимо через  - замкнений лінійний многовид, породжений величинами . Тоді кожна випадкова величина  може бути представлена у вигляді

де  належить  замкненому лінійному многовиду, породженому функціями  і оцінка

буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли

Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі  випливає, що функція  повністю визначається двома умовами:

1)      

2)      

Теорема 2 (Колмагоров)

Нехай  - регулярна послідовність з

І похибка інтерполяції  задається формулою

Фільтрація.

Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки  величини  по тім чи іншим спостереженням послідовності

Оскільки , то знайдеться така функція , що

Оптимальна функція :

1)       ,

2)       .

Отриманий розв’язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки  величини  по результатам спостережень , де  - деяке задане число з .

.6 Двоїстість та ортогоналізація

Надалі ми припускаємо, що  такий, що  для деякої функції ???? з класу Харді . Нехай  і  це коефіцієнти в наступних розкладах: