Материал: Matlab. Практический подход. Самоучитель

Глава 6. Интегрирование и дифференциальные уравнения

Результатом возвращается, как и в случае функции ode45(), список узловых точек независимой переменной и значений функции в этих точках.

Примером использования созданной функции служит команда [x,y]=F(3,1,0).Вданномслучаевычисляетсярешениеy(x) = x2(x2 −1) . Полученный результат проверяется графически. На рис. 6.32 показано командное окно с соответствующими инструкциями.

Рис. 6.32. Использование функции решения дифференциального уравнения при определении анонимной функции

На рис. 6.33 представлен график для рассчитанной функции.

Рис. 6.33. График построен на основе результатов решения дифференциального уравнения

271

Самоучитель Matlab

Как и во всех предыдущих случаях, мы на фоне числового решения отобразили кривую для аналитического решения.

Существуют и другие способы использования функции для решения дифференциальных уравнений. Заинтересованный в этом вопросе читатель может проявить здесь свою изобретательность.

272

Глава 7 Уравнения математической физики

- Вы уже думаете об этом деле? - У меня оно не выходит из головы. - Какие Ваши соображения?

- Запутанная история! - Как это верно, Ватсон!

К/ф "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона. Собака Баскервилей"

С математической точки зрения уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Такого типа уравнения описывают ряд важных физических процессов – отсюда, собственно, и название. Сразу следует отметить, что возможности по аналитическому решению уравнений математической физики существенно ограничены, поэтому решение этих уравнений в числовом виде нередко является единственно возможным выходом из ситуации.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, при решении уравнения в частных производных (второго порядка) самого этого уравнения мало для получения решения.

На заметку

В уравнениях математической физики независимые переменные, равно как и сама искомая функция, обычно имеют четкую физическую интерпретацию. Как правило, выделяют пространственные переменные и переменную, обозначающую время (для описания процессов, зависящих от времени). В зависимости от наличия переменной времени, порядка производной по этой переменной (по пространственным переменным производные второго порядка) и способа вхождения в уравнение, выделяют несколько типов уравнений. Уравнения гиперболического типа содержат вторую производную по времени и описывают колебания струн и мембран. Уравнения параболического типа содержат первую производную по времени и описывают процессы теплообмена и диффузии вещества в пространстве. Уравнения эллиптического типа не содержат производных по времени и описывают распределение электростатического поля или стационарное (установившееся) распределение температуры. Разумеется, этими задачами применимость уравнений математической физики не исчерпывается.

Принципиально важно знать область, для которой ищется решение, а также граничные и начальные условия. Более того, не имея информации об области и граничных условиях, вообще нет смысла говорить о решении уравнений в частных производных второго порядка. Даже незначительное, на первый взгляд, изменение граничных условий может привести к кардинальному изменению в решении. Неудивительно, что в такой ситуации

273

Самоучитель Matlab

желательно иметь эффективное и надежное средство, позволяющее относительно быстро и просто получать решение. Дальше мы попытаемся убедить читателя, что Matlab как раз является таким средством.

На заметку

В Matlab для решения уравнений в частных производных есть пара встроенных функций и пакет инструментов Partial Differential Equation Toolbox. Встроенные функции позволяют решать уравнения для случая, когда уравнение содержит одну пространственную переменную (одномерная задача). С практической точки зрения это не самый важный тип задач. Намного более эффективным представляется использование пакета инструментов. Кроме того, в главе будет показано, насколько полезно приложение Matlab в случае, если удается найти точное (аналитическое) решение задачи.

Одномерный случай

А это не химера, с физическими формулами. То, что произошло сегодня, было непредвиденным и не укладывалось ни в одно, ни в другое решение.

К/ф "Семнадцать мгновений весны"

Функция pdepe() позволяет решать одномерные уравнения параболического и эллиптического типа достаточно общего вида. У функции несколько аргументов. Первый аргумент может принимать три целочисленных значения (0, 1 или 2). Этот аргумент определяет систему координат, в которой вычисляется пространственная производная. Значение 0 соответствует декартовым координатам, значение 1 соответствует полярным координатам, а значение 2 соответствует сферическим координатам. В последних двух случаях подразумевается, что искомая функция зависит только от одной пространственной координаты (радиуса - соответственно в полярной или сферической системе координат).

На заметку

"Классическое" уравнение параболического типа в одномерном случае в декар-

товых координатах имеет вид ∂u(t,x) = a2 ∂2u(t,x) , где a - параметр задачи,

∂t ∂x2

переменная t означает время, переменная x есть пространственная координата, а u(t,x) - неизвестная (искомая) функция от времени и координаты. В полярных координатах (радиус r и угол ϕ ) для функции, которая не зависит от угла

274

Глава 7. Уравнения математической физики

В сферических координатах (радиус r и углы ϕ и θ ) для функции, не зависящей

ввести обобщенную пространственную координату z , то все три уравнения

менная n может принимать значение n = 0 для декартовых координат, n = 1 для полярных координат и n = 2 для сферических координат. Фактически, параметр n передается первым аргументом функции pdepe().

Следует также отметить, что все три уравнения являются частным случаем бо-

∂u(t,r )

лее общего уравнения для трехмерного случая ∂t = a2∆u(t,r ) , где че-

рез ∆ обозначен оператор Лапласа, записанный в соответствующей системе

координат. Через вектор r обозначен полный набор пространственных координат.

Уравнения эллиптического типа обычно рассматривают в виде ∆u(t,r ) = f (r ) , где функция f (r ) известна. Однако для одномерного случая уравнение содержит производные от неизвестной функции только по одной (пространственной) переменной и является, таким образом, обыкновенным дифференциальным уравнением. Поэтому особого интереса в данном случае уравнение эллиптического типа не представляет.

Помимо первого аргумента, определяющего пространственную симметрию задачи, аргументами функции pdepe() также передаются: указатель на функцию, определяющую решаемое уравнение (систему уравнений), указатель на функцию начального распределения, указатель на функцию граничных условий, список узловых значений по переменной времени и список узловых значений по пространственной переменной. В качестве результата (первое значение из списка возвращаемых значений) функцией pdepe() возвращается трехмерный массив, который содержит значения каждой функции системы (в общем случае) уравнений в каждой из узловых точек по времени и координате. Все перечисленные функции, которые упоминались выше, должны иметь определенную структуру.

Для лучшего понимания, что и как определяется при решении уравнения параболического типа в одномерном (по пространственной переменной) случае, следует учесть, что функция pdepe() позволяет решать уравнения

275