Материал: Logika-1

4. Условное суждение – импликация. В естественном языке импликации соответствует союз «если…, то…». Логическая форма: (А→ В). Первыйаргументимпликации(А) называетсяантецедентом, или условием, второй (В) – консеквентом, или следствием. Импликация будет ложной только в одном случае: когда условие выполнено (А истинно), а следствие не наступило (В ложно). Возьмем высказывание: «Если я устал, то не могу работать». Человек устал, но может работать. Значит, его первоначальное высказывание было ложным

(табл. 8).

Таблица 8

Импликация

5. Суждение эквивалентности. В языке эквивалентности соответствует союз «…тогда и только тогда, когда…». Логическая форма: (А ≡ В). Данное суждение истинно тогда и только тогда, когда его аргументы (А и В) либо истинны, либо ложны (табл. 9).

Таблица 9

Эквивалентность

6. Отрицательные суждения – отрицание. В языке им соот-

ветствуют выражения «не», «неверно, что…». Отрицание действует только на одно суждение, поэтому таблицу можно представить так

(табл. 10).

Таблица 10

Отрицание

Отметим, что смысл определенных нами с помощью таблиц логических союзов (конъюнкции, дизъюнкции и т. д.) лишь приблизительно совпадает со смыслом грамматических союзов (и, или и т. д.), которые в повседневном обиходе употребляются, как правило, неоднозначно.

Отношения между сложными суждениями

Отношения между сложными суждениями во многом подобны отношениям между простыми суждениями, но есть и отличия.

Сравнимыми называются сложные суждения, в состав которых входит хотя бы одна общая переменная, соответствующая простым суждениям. Среди сравнимых суждений выделяют совместимые

и несовместимые суждения.

Между совместимыми суждениями возникают отношения эквива-

лентности, логического следования, частичной совместимости.

Междунесовместимымисуждениямивозникаютдвавидаотноше-

ний: противоречие и противоположность.

Эквивалентными являются суждения, которые принимают одинаковые логические значения при одних и тех же значениях составляющих. Это значит, что таблицы истинности таких суждений совпадают. Эквивалентность позволяет нам выделить суждения с различными смыслами, но одинаковыми значениями.

Покажем это на следующем примере:

«В деле об убийстве имеются двое подозреваемых: Петр и Павел. Допрошены четыре свидетеля. Они дали такие показания:

1-й свидетель: «Петр не виноват». 2-й свидетель: «Павел не виноват».

3-йсвидетель: «Издвухпоказанийпоменьшеймереодноистинно». 4-й свидетель: «Показания 3-го свидетеля ложны».

Прав оказался 4-й свидетель. Кто же совершил преступление?» Обозначимбуквойp суждение«Петрвиноват», абуквойq – «Павел виноват». Тогда показания 1-го свидетеля будут (¬p), 2-го – (¬q), 3-го – (¬p ¬q ), а 4-го – ¬(¬p ¬q). Можно убедиться, что показания 4-го свидетеля, по существу, эквивалентны суждению «Петр

виноват и Павел виноват», т. е. ( p & q ) (табл. 11).

Мы видим, что (p&q) ≡ ¬ (¬p ¬ q), так как они имеют одинаковые таблицы. Таким образом, знание эквивалентностей упрощает решение логических задач.

Суждения находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинным, а второе – ложным. Проверяется это также с помощью семантических таблиц и означает, что в совместной семантической таблице не найдется такой строчки, в которой первое суждение будет истинным, а второе – ложным. Это самое важное отношение в логике, так как оно лежит в основе дедуктивных умозаключений (о них мы будем говорить позже). Обозначается логическое следование специальным знаком (читается «логически следует»).

Например, ((р → q) & ¬q) ¬ p

«Если законы правовые, то они выражают интересы большинства народа. Эти законы не выражают интересов большинства народа. Следовательно, эти законы не правовые».

Отношениечастичнойсовместимостиозначает, чтовпостроенной для них совместной семантической таблице суждения не могут одновременно принимать значение «ложь», но при этом могут встречаться все другие комбинации (например, р и р → q).

Противоречие между сложными суждениями, как и между простыми, проявляется в том, что вместе они не могут быть ни истинными, ни ложными. Суждения же, находящиеся в отношении противоположности, не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными.

Все эти отношения мы можем установить и проверить путем построения совместных таблиц для суждений, как это было показано на примере эквивалентности.

§4. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении. Она находит свое выражение в схемах правильных форм, сложившихся в процессе многовековой практики мышления. Эти схемы легко выражаются в формулах, принимающих значение «истина», при всех наборах значений, входящих в них переменных. Такие формулы в логике высказываний называются тождественноистинными. Так, формула (А→А) является тождественно-истинной, поскольку любые значения ее переменных дают значение «истина». Это подтверждается таблицей 12.

Таблица 12

Закон тождества

Данная формула является логической формой закона тождества и означает, что всякое высказывание является тождественным самому себе.

Известный в логике закон двойного отрицания выражается формулой ¬¬ А ≡ A. Согласно этому закону, любое утверждение может быть выражено в форме двойного отрицания. Например, суждение «Это решение правильное» эквивалентно суждению «Неверно, что это решение не является правильным». Число тождественно-истин- ныхформулнеограничено, апотомуколичествозаконоввлогикебесконечно.

Закон логики – это сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы принимает значение «истина».

В традиционной логике, восходящей к Аристотелю, выделяется

четыре основных закона.

1. Закон тождества. В классической логике выражается формулой

А → А (Если А, то А), или А ≡ А (А тогда и только тогда, когда А).

Его содержательная формулировка такова: «Один и тот же термин в одном и том же рассуждении должен употребляться в одном и том же отношении, в одном и том же смысле и применительно к одному и тому же времени».

Это означает, что используемые нами понятия не должны подменяться в ходе одного и того же рассуждения. Это естественное требование ко всякому честному спору, обсуждению и т. п. Подмена понятий – один из основных источников логических ошибок, а если это делается сознательно, то рассматривается как софизм.

Приведем анекдотический пример такого сознательного нарушения: «По окончании с Персиею войны многие из придворных, желая посмеяться над Балакиревым (любимый шут Петра Первого), спрашивали его: что он там видел, с кем знаком и чем занимался? Шут все отмалчивался. Вот однажды в присутствии государя и многих вельмож один из придворных спросил его: «Да знаешь ли ты какой у персиян язык?».

– И очень знаю, – отвечал Балакирев.

Все вельможи удивились. Даже и государь изумился. Но Балакирев то и твердит, что «знаю».

–Ну и какой же он? – спросил шутя Меньшиков.

–Да такой красный, как и у тебя, Алексаша, – ответил шут. Вельможи все засмеялись, и Балакирев был доволен тем, что

верх остался на его стороне». (Русский литературный анекдот конца

XVIII–нач. XIX века. – М., 1990. С. 13–15).

Применительно ксуждениямзакон тождестваозначает, чтосуждениядолжныбытьнеизменныминапротяженииданногорассуждения: а) по количеству и качеству (для простых), б) по логическим связям (для сложных суждений).

Данный закон является основанием правильного ведения споров. Если спорящий высказал какую-либо мысль и обещал ее доказать, то он должен иметь дело именно с этой мыслью на протяжении всего спораинепытатьсяподменитьееболеелегкодоказуемой. Еслижеон видит невозможность доказательства, то должен честно признаться

вэтом.

2.Законнепротиворечия. Формулазаконанепротиворечиятакова: ¬(А&¬А), т. е. «Неверно, что А и не-А».

Содержательная его формулировка дается Аристотелем (Метафи-

зика, кн. 4, гл. 3): «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении».

Формула (А&¬А) называется противоречием. Закон указывает на недопустимость противоречия в наших рассуждениях, т. е. нельзя одновременно что-либо утверждать и это же отрицать.