Материал: Logika-1

A B

Рис. 4

Если А – студенты, В – отличники, то их объединение дает нам множество, в которое входят и все студенты, и все отличники, включая школьников и отличников боевой и строевой подготовки.

Введем еще некоторые важные понятия.

Универсальноемножество(обозначаетсяU) – этомножествовсех объектов, для которого любое другое множество, кроме него самого, будет его собственным подмножеством. В логике часто используется выражение «универсум рассуждения» как обозначение всего класса рассматриваемых явлений. Это – аналог универсального множества.

Для любого множества А мы можем осуществить операцию дополнения: дополнением к множеству А называется множество не-А, которое при сложении (объединении) с А образует универсальное множество (рис. 5).

НЕ-А

A

Рис. 5

Кроме того, введем понятие пустого множества – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается .

Объединение любого множества с его дополнением (обозначим его А′) образует универсальное множество:

А А′ = U

Другие взаимоотношения множеств:

А ∩ А′ = (пересечениемножестваиегодополнениядаетпустоемножество),

U′ =

(дополнением универсального множества является пустое множество),

′= U

(дополнением пустого множества является универсальное множество).

Операции пересечения и объединения аналогичны операциям умножения и сложения в арифметике. Поэтому они могут быть обобщены на случай более чем двух множеств. Так, мы можем осуществить пересечение трех или более множеств (рис. 6).

A ∩ B ∩ C

A B

C

Рис. 6

Подобную же операцию мы можем проделать и для объединения множеств.

Перейдем теперь к объему понятий.

Для того чтобы эффективно оперировать в дальнейшем с объемами понятий, необходимо иметь в виду следующее правило объема:

каждый элемент объема понятия имеет все признаки, перечисленные в содержании понятия.

Таким образом, если мы хотим установить, является ли некоторый предмет элементом объема данного понятия, необходимо проверить, имеетлионвсепризнаки, мыслимыевосновномсодержанииданного понятия.

Например, что является элементом объема понятия «созвездие»? Созвездие – это множество звезд. Будет ли отдельная звезда элементом данного понятия? Конечно, нет. Элементами будут отдельные созвездия: «Созвездие Большой Медведицы», «Созвездие Гончих Псов» и т. п.

Связь объема и содержания понятия выражается в законе обратного отношения между ними. Сам закон читается так: если объем одного понятия полностью включается в объем другого понятия, то из содержания первого понятия логически вытекает содержание второго понятия.

Другими словами его можно выразить так: чем богаче содержа-

ниепонятия, темужеегообъем, и, наоборот, чембеднеесодержание понятия, тем шире его объем.

Этот закон играет важную роль во многих процессах познания. Понятие содержания понятия отражает его информативность. Чем богачесодержание(т. е. чембольшемыегоограничиваем, чембольше признаков перечисляем), тем более оно информативно и тем меньше предметов подпадает под данное понятие.

Следует подчеркнуть, что этот закон применим при сравнении понятий, относящихся друг к другу как «род» к «виду». Например,

сравним понятия «студент» (А) и «учащийся» (В). Объем понятия А составляет часть объема понятия В (все студенты являются учащимися, но не все учащиеся студенты, поэтому объем понятия «учащийся» шире, чем объем понятия «студент»), с содержанием же наоборот – содержание понятия В составляет часть содержания понятия А. Как мы помним, содержание понятия составляют его отличительные признаки, а у понятия «студент» их больше, чем у понятия «учащийся», следовательно, содержание понятия А богаче, чем содержание понятия В.

Увеличивая содержание понятия, например, «преступление» путем добавления нового признака «хозяйственное», мы получаем понятие «хозяйственное преступление», которое имеет меньший объем. Отбрасывая признак, например, в понятии «генеральный прокурор», мы получаем понятие с меньшим содержанием, но большим объемом – «прокурор».

Закон обратного отношения между объемом и содержанием понятия лежит в основе ряда логических операций, они будут рассмотрены ниже.

§3. ВИДЫ ПОНЯТИЙ

Зная объем и содержание понятий, можно разбить их на виды, отражающие различные качественные и количественные характеристики тех или иных понятий. Понятия можно разделить по содержанию и по объему. Мы в качестве оснований деления понятий на виды возьмем следующие признаки: (1) характер признаков; (2) число элементов объема; (3) характер элементов объема.

1.По характеру признаков понятия делятся на:

a) положительные и отрицательные,

b) относительные и безотносительные.

Положительное понятие – указывает на наличие у предмета свойства или отношения («военнообязанный», «нравственный»).

Отрицательное понятие – указывает на отсутствие у предмета некоторого свойства или отношения («невоеннообязанный», «безнравственный»). Отрицательныепонятия, какправило, являютсяпроизводными от положительных при помощи добавления отрицательных частиц «не», «без» и др.

Определяя понятия как положительные или отрицательные, следует иметь в виду, что логическая характеристика понятия не совпадает с нравственной или иной оценкой данного явления, деяния и т. п. Например, понятие «преступление» является положительным, так как оно определяется по наличию признаков «быть общественно опасным деянием», «быть запрещенным уголовным законом». Точно также положительным понятием будет «стихийное бедствие» и т. п.

Если отрицательная частица «не» или «без» слилась с основой слова и слово без нее не употребляется, то понятия, выраженные такими словами, рассматриваются как положительные («ненависть», «неряха», «ненастье»).

Положительные и отрицательные понятия являются противоречащими (на языке теории множеств – находящимися в отношении дополнения).

Относительным называется понятие, содержание которого представлено признаками, выражающими отношения между предметами («отец», «мать», «север», «юг»). Вотносительныхпонятияхмыслятся предметы, предполагающиесуществованиедругогопредмета(«дети» предполагает «родителей», «истец» – «ответчика» и т. п.). Заметим, что большинство юридических понятий являются относительными, так как предметом юриспруденции выступают правовые отношения.

Безотносительное понятие – понятие, содержание которого не связано каким-либо отношением, мыслимые предметы существуют самостоятельно, независимо от других предметов. Содержание образовано признаками-свойствами. Большинство обычных понятий относится к этому виду («человек», «город» и т. п.).

2.По числу элементов объема понятия делятся на единичные,

общие и пустые.

Единичными называются понятия, объемы которых представляют собой классы, состоящие ровно из одного элемента («первый космонавт», «человек, первым побывавший на Луне» и т. п.). Часто они бывают выражены именами собственными («Луна», «Москва»).

Общие понятия – это понятия, в объем которых входит более одного элемента («космонавт», «человек»).

Пустые понятия – это понятия, объемы которых представляют собой пустое множество, т. е. не содержат в себе ни одного элемента.

Кпустым относятся понятия о реально не существующих предметах («русалка», «Шерлок Холмс»), а также о предметах, существование которых в принципе невозможно («вечный двигатель», «круглый квадрат»). С точки зрения семиотики, пустые понятия – это знаки, имеющие смысл, но не имеющие значения. Смысл таких понятий может порождаться культурно-историческими факторами, – так возникают вначале представления, а затем понятия о мифологических существах, сказочных персонажах, литературных героях.

Не меньшее значение имеют понятия, возникшие в процессе развития научного знания. Это могут быть и некоторые заблуждения, скажем, такие, не оправдавшиеся в дальнейшем понятия, как «эфир», «теплород», «вечный двигатель». Кстати, и такое логически противоречивое понятие, как «круглый квадрат» родилось из попыток найти «квадратуру круга», т. е. вычислить площадь окружности путем вписывания в нее различного типа многоугольников – до тех пор, пока не было обнаружено число π. Также к числу пустых понятий относятся и сознательно вводимые «предельные понятия», такие, как «идеальный газ», «абсолютно черное тело» и т. п.

3.По характеру элементов объема понятия делятся на:

a) собирательные и несобирательные,

b) абстрактные и конкретные.