Материал: Ekzamen_Toe

22. Энергетические процессы в цепях синусоидального тока. Мгновенная мощность. Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей.

Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S= UI цепи, а аргумент — углу сдвига фаз ф = ^х?_и - Ч^/( между током и напряжением на ее входе:

где /* = /с^_/Т' — комплексно-сопряженный ток.

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряженный ток / .

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической S = ^соБф + у^ыпф, устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи

С учетом (2.79) и (2.80) выражение (2.78) можно записать следующим образом:

Следовательно, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи Р, а мнимая — реактивной Q, причем если перед символом у стоит знак «минус», то это реактивная емкостная мощностъ -Q_c, а если знак «плюс» — реактивная индуктивная мощность +Q_l.

Упражнение 2.7. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплекс напряжения и комплекс тока на зажимах которой

Ц= Юс^у'³⁰° Ви/=2е"^у'⁴⁵°А.

Решение.

• 1. Комплексно-сопряженный ток / = 2e^j45 А.

• 2. Комплексная мощность S = Щ* = Юе⁷³⁰ • 2с^74э = 20e^j15 В А.

• 3. Активная мощность P = Sco$>q> = 20cos75° = 5,2 Вт.

• 4. Реактивная мощность Q = Q, = .Ssincp = 20sin75° = 19,3 вар.

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, должна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии:

где пит — число источников и приемников энергии в цепи.

Примечание. Заметим, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия.

Уравнение (2.82) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, активных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.82): 

Для практических расчетов условие баланса комплексных мощностей цепи представляют в следующем виде:

при этом слагаемые, стоящие в левой части (2.84), берут со знаком «плюс», если совпадают направления тока I_k и ЭДС Е_к источника напряжения и не совпадает направление тока J_k с направлением напряжения U_k на зажимах источника тока. В противном случае эти слагаемые берут со знаком «минус».

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

• активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна активной мощности всех ее потребителей (она полностью расходуется в резистивных элементах цепи):

• реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и ее потребителями):

где R_k и jX_k = jX_Lk - jX_Ck — действительная и мнимая части комплексного сопротивления к-то пассивного элемента.

Упражнение 2.8. Для цепи (рис. 2.49) с параметрами Е = 10е^у9° В, J = 2е~'^Ы) А, /?, = R₂ = /?₃ = Х_и = Х_сз = Х_С4 = 5 Ом рассчитать комплексы напряжений и токов ветвей. Правильность результатов расчета проверить посредством составления баланса мощностей.

Решение.

1. Находим комплексы узловых Y_{, и У₂₂, межузловой У_п проводимостей и комплексы узловых токов и J₂₂:

Рис. 2.49

2. Воспользовавшись калькулятором ElCalc, определим комплексы узловых U_n и Ц₂₂ и межузлового U_n напряжений:

3. Находим комплексы токов ветвей по закону Ома:

4. Комплексная мощность, отдаваемая источниками,

должна быть равна комплексной мощности, потребляемой приемниками:

Таким образом, условие баланса мощностей с допустимой погрешностью выполнено.

Задание 2.10. В цепи (рис. 2.50) с параметрами Е - 2 В, У = 4 мА, /?, = 1 кОм, R₂ = 3 кОм, X_l = 2 кОм, Х_с= 3,33 кОм известны комплексы токов и напряжений на элементах цепи:

Рис. 2.50

23. Резонансные явления в электрических цепях и частотные характеристики.

Резонансные явления в электрических цепях.

Ранее было доказано, что действующее значение силы тока в R, L,C цепочке определяет соотношение:

.

Так как индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты (), то сила тока в R, L,C также будет зависеть от частоты источника питания. Из приведенного выражения следует, что ток будет максимален при:

,

где − резонансная частота контура.

В том случае, когда в цепи наблюдается явлениерезонанса.

На этой резонансной частоте , а, следовательно, в цепи действует чисто активное сопротивление R, поэтому напряжение и ток при резонансе совпадают по фазе.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Покажем зависимость I (ω) для фиксированных значениях напряжения U, индуктивности L и емкости С при двух различных значения R:

24. Резонанс напряжений.

Резонанс напряжений – это такой режим работы неразветвленной электрической цепи переменного тока, при котором полное напряжение (входное) и ток совпадают по фазе (φ = 0), т.к. из (12)

 ,

Условием резонанса является соотношение:

X_L = X_С (21)

Следовательно:

При резонансе:

Lω=  , LCω² = 1 (22)

Анализируя (22) приходим к выводу, что резонанс в цепи можно получить тремя способами:

– изменением частоты при постоянных L и C;

– изменением индуктивности при постоянных C и ω;

– изменением емкости при постоянных L и ω.

Резонансная частота: ω₀ = 

При резонансе полное сопротивление цепи становится равным только активному сопротивлению:

 = R (при X_L =X_С) (23)

При этом оно достигает своего наименьшего значения, а следовательно, ток при резонансе достигнет максимально возможной величины.

I_РЕЗ =  (24)

Рисунок 6 – Векторная диаграмма резонанса напряжения

При резонансе реактивные напряжения U_L и U_С становятся равными по величине, но противоположными по направлению, т.к. между ними имеет место сдвиг фаз, равный 180º, это приводит к тому, что реактивное напряжение цепи U_Р становится равным нулю (рисунок 6).

U_L =I· X_L; U_С = I· X_С;

при U_L = U_С;

U_Р = U_L - U_С =0

Таким образом, полное напряжение становится равным падению напряжения на активном элементе

U= I· Z_РЕЗ = I· R= U_R

На рисунке 6 изображена векторная диаграмма напряжений для случая резонанса. Активная мощность такой цепи:

Р_РЕЗ = IUcos φ = IUcos 0º= IU = S, а реактивная Q_РЕЗ = IUsin φ = 0

Реактивные мощности индуктивной катушки Q_L = I² X_L и конденсатора Q_С = I² X_С не равны нулю. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. При резонансе реактивная энергия циркулирует внутри контура электрической цепи от катушки индуктивности к конденсатору и обратно. Обмена энергией между источником и цепью не происходит.

При резонансе падения напряжения на катушке и конденсаторе равны:

U_LРЕЗ = I_РЕЗ X_L =  X_L ; U_СРЕЗ = I_РЕЗ X_С =  X_С,

Из этих выражений следует, что

при X_L = X_С > R,

напряжения U_L и U_С могут быть больше напряжения U, приложенного ко всей цепи.

Это обстоятельство следует учитывать при эксплуатации электротехнических устройств, так как при резонансе напряжений на отдельных элементах устройств падение напряжения может превысить величину напряжения прочности изоляции.

Явление резонанса широко используется в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и др.

Если электрическая цепь (рисунок 1) имеет параметры L и C такие, что резонансной для этой цепи является частота ω₀ =  , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение.

Токи других частот будут меньше. Изменяя индуктивность L и емкость C , можно настраивать контур на ту или иную резонансную частоту и усиливать в цепи ток соответственно той или иной частоты.

На участке цепи с параллельным соединением резистора, индуктивной катушки и конденсатора (рис.2.21) может возникнуть резонанс токов . Условием возникновения такого режима является равенство реактивных проводимостей b_L=b_C.

Рисунок 2.21 – Участок цепи с параллельным соединением резистора, индуктивной катушки и конденсатора

При резонансе токов полная проводимость цепистановится чисто активной и равной g, а общий ток цепи I_рез=gU минимальным. Фазовый сдвиг между напряжением и током φ=arcCos(g/y), вносимый цепью, равен нулю.

Режим участка цепи, при котором сдвиг фаз между напряжением на его выводах и общим током равен нулю, называется резонансом токов.

При резонансе действующие значения токов в катушке и конденсаторе одинаковы: I_L=(1/ω_резL)U=I_C=ω_резCU, а сдвиг фаз между токами равен π, так как ток в индуктивности отстает от напряжения на π/2, а ток в конденсаторе опережает напряжение на такой же угол π/2.

Если при резонансе токов в одинаковое число раз n увеличить индуктивную и емкостную проводимости, то токи I_L и I_C увеличатся тоже в n раз, а общий ток останется тем же: I=Ug. Таким образом, в принципе можно неограниченно увеличивать токи в индуктивности и емкости при неизменном токе источника.

На рисунке 2.22 показаны резонансные кривые параллельного контура. В конденсаторе ток I_C=ωCU возрастает пропорционально угловой частоте, в катушке индуктивности ток I_L=U/(ωL) обратно пропорционально угловой частоте, в резисторе ток I_R=U/R от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых I_C(ω) и I_L(ω) соответствует резонансу токов, при котором I=I_R=I_рез.

Если проводимость g резистора равна нулю, то и полная проводимость y равна нулю. При этом общий ток цепи (ток источника) также равен нулю, что эквивалентно размыканию цепи.

Рисунок 2.22 – Резонансные кривые параллельного контура

Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений – явление безопасное для электроэнергетических установок. Резонансные режимы находят широкое применение в радиотехнических устройствах.