Материал: Ekzamen_Toe

4. Записать систему уравнений в виде:

матричная форма

или в развернутом виде:

алгебраическая форма

В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных k = n – 1 потенциалов при помощи метода Крамера.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить баланс мощности.

Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Однако расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС. Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до k = n – 1 – q.

Пример. Если в данной схеме (рис. 2.6) в качестве опорного узла выбрать узел 1 (j₁ = 0), то потенциалы второго и третьего узлов можно считать известными и равными соответственно j₂ = E₁ и j₃ = E₁–E₂. Тогда неизвестным остается только потенциал четвертого узла, для которого составим уравнение по методу узловых потенциалов:

Следует отметить, что уравнения для 2-го и 3-го узлов составить не представляется возможным из-за появляющихся неопределенностей вида  , т.к. сопротивление ветви, содержащей идеализированный источник ЭДС, равно нулю, а проводимость соответственно  .

Подставим известные значения:

Из полученного уравнения найдем неизвестный  , а далее и все токи.

Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, т.к. потенциал другого узла может быть принят равным нулю.

Система уравнений превращается в одно уравнение:

 (2.15)

при условии, что 

После определения U₁₂ токи ветвей и напряжения источников тока находят при помощи обобщенного закона Ома.

Пример.

Пусть  (рис. 2.7), тогда

По обобщенному закону Ома

6. Расчет сложных цепей постоянного тока методом контурных токов.

8 Метод взаимности

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток  в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС  , находящейся в i – й ветви,

будет равен току  в i – й ветви, вызванному ЭДС  , численно равной ЭДС  , находящейся в k – й ветви,

 .

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение  .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС  , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток  (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС  вызовет в первой ветви такой же ток  (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток  , вызываемый источником ЭДС  .

Перенесение источника ЭДС  в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи

где  .

В соответствии с принципом взаимности ток  в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС  в k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать

и для тока в n – й ветви –

Здесь  и  - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме  .

Умножив левую и правую части (10) на  , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

Обозначив в (11)  и  , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами  и  в схеме с переменным резистором на рис. 5, где  ;  ;  .

Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям  .

Выбрав в качестве этих значений  и  , для первого случая (  ) запишем

 .

Таким образом,  .

При  (режим короткого замыкания)

 ,

откуда

 .

На основании (8)

 .

Таким образом,

9. Теоремы компенсации.



10. Метод эквивалентного источника.

11. Потенциальная диаграмма.

Потенциальной диаграммой называется графическое изображение распределения электрического потенциала вдоль замкнутого контура в зависимости от сопротивления участков, входящих в выбранный контур.

Для построения потенциальной диаграммы выбирают замкнутый контур. Этот контур разбивают на участки таким образом, чтобы на участке находился один потребитель или источник энергии. Пограничные точки между участками необходимо обозначить буквами или цифрами.