Материал: Ekzamen_Toe

18. Треугольники сопротивлений, проводимостей и мощностей.

При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (при­емники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из ком­бинации идеальных схемных элементов R, L и С.

Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктив­ный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть пред­став­лен двумя простей­шими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных эле­ментов R и L: а) последовательной (рис. 53а) и б) параллельной (рис. 53б):

Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства пара­метров ре­жима на входе:  ,  .

Для последовательной схемы (рис. 53а) справедливы соотношения:

 ,

 .

Для параллельной схемы (рис. 53б) справедливы соотношения:

 ,

 .

Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между пара­метрами эквивалентных схем:

 ,  ,  ,  .

Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в общем случае  и  и соответственно  и  , как это имеет место для цепей постоян­ного тока.

Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.

Последовательной схеме замещения соответствует представление век­тора напряже­ния в виде суммы двух составляющих: активной составляющей U_а, совпадающей с векто­ром тока I, и реактивной составляющей U_р, перпенди­ку­лярной к вектору тока (рис. 54а):

Из геометрии рис. 54а следуют соотношения:

 ,  ,  .

Треугольник, составленный из векто­ров  ,  ,  получил назва­ние треугольника напряжений (рис. 54а).

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопро­тивле­ние X. Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником со­против­лений (рис. 54б). Из треугольника сопротивлений следуют соотношения: R = Z×cosφ, X = Z×sinφ,  ,  .

Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей I_а, совпадаю­щей с вектором напряже­ния U, и реактивной составляющей I_р, перпендикуляр­ной к вектору U (рис. 55а).

Из геометрии рисунка следуют соотношения:

 ,  ,  .

Треугольник, составленный из векторов  ,  ,  получил название тре­угольника токов (рис. 55а).

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются проводимости: пол­ная – Y, активная -G, реактивная – B (рис. 55б). Тре­угольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:

 ,  ,  ,  .

Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно не­сложных цепей пере­менного тока.

19. Основы комплексного метода расчета цепи синусоидального тока.

Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями [см., например, (2.29)], к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексной амплитудой тока  мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением R, равное  — комплексом  по фазе совпадающим с током  мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке  — комплексом опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе  Midt — комплексом  отстающим от тока на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплексом  Справедливость замены  на  следует из § 3.7 и 3.8.

В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на L равна произведению амплитуды тока на  Множитель  свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке опережает вектор тока на 90°.

Аналогично, из § 3.9 следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на  Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90° объясняет наличие множителя 

Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных значений можно записать так:

или

Запишем его в комплексной форме:

Вынесем  за скобку:

Следовательно, для схемы рис. 3.9

Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока  через комплексную амплитуду ЭДС  и сопротивления цепи 

Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так,  — это изображение или символ падения напряжения  — изображение или символ падения напряжения  — изображение или символ падения напряжения на конденсаторе — 

20. Особенности расчета сложных цепей комплексным методом.

Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

- алгебраическая форма: ;

- показательная (или экспоненциальная) форма: ;

- тригонометрическая форма: .

Все эти формы связаны между собой, в частности, модуль числа , аргумент .