Материал: 5565
17
2. Проекция прямой в общем случае есть прямая (рис. 1.10).
Если прямая располагается перпендикулярно какой-либо плоскости проекций (такая прямая называется проецирующей), то на эту плоскость она проецируется в виде точки (рис. 1.10).
3. Если точка лежит на прямой, то ее проекция располагается на соответствующей проекции этой же прямой А m А
m
(рис. 1.11).
B |
M |
S |
|
||
А |
N |
|
|
|
А
B
M
N
m |
А |
S |
|
||
|
|
m
А
Рис. 1.10 |
Рис. 1.11 |
Примечание. Первые 3 свойства проекций являются общими для центрального и параллельного проецирования.
4. Если точка делит отрезок прямой в каком-либо отношении, то ее проекция делит проекцию отрезка в том же самом отношении (рис. 1.12).
| AD | |
m |
| A D |
| |
|
m |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| DB | |
|
n |
| D A |
| |
|
n |
||
|
|
|||||||
D |
n |
m |
|
|
n |
m |
B |
|
D |
Рис. 1.12
5. Если прямая параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость
эта прямая проецируется без |
искажений (рис.1.13). |
||
m II |
m = m, |
m II |
[ A B ] = [ AB ]. |
18
Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется без искажения.
6. Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одном проецирующем луче
(рис. 1.14). 90 |
|
|
m n = C m |
n C |
|
m |
m |
n |
m |
m |
n |
Рис. 1.13 Рис. 1.14
7. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции, в общем случае, также параллельны (рис. 1.15).
a II b a II b
8. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений (рис. 1.16).
ABC = 90 ; AB |
; BC |
; |
A B C = 90 ; |
|
ABD = 90 ; AB |
; BD |
|
; |
A B D = 90 . |
|
||||
a |
b |
a |
b |
Рис. 1.15 Рис. 1.16
Примечание. Свойство 8-е только для ортогонального проецирования.
19
9. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.
§ 4. Обратимость чертежа. Метод Монжа
Рассмотренный в § 2 и § 3 способ проецирования на одну плоскость проекций дает возможность решить прямую задачу (имея предмет, можно найти его проекцию), но не позволяет решить обратную задачу (имея проекцию, определить форму и размеры предмета). Например, имея проекцию А
(рис. 1.9) нельзя определить положение самой точки в пространстве, так как не известно, насколько она удалена от плоскости проекций . Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. Решение этой задачи является основной в технической практике. Так, на производстве изделие изготавливают по его проекционным чертежам, которые должны полностью определять размеры и формы этого изделия. Чертеж должен быть «обратимым», т.е. вполне определяющим проецируемые геометрические образы (объекты).
Впрактике нашли применение несколько способов построения «обратимых» чертежей: проекции с числовыми отметками, «федоровские проекции», аксонометрические проекции, ортогональные проекции.
Внашем случае будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, т. е. комплексные чертежи (метод Монжа).
Выводы
Начертательная геометрия как наука изучает вопросы изображений геометрических образов (точки, линии, плоскости, поверхности) на плоскости. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования. Проецирование может быть центральными, параллельными (ортогональными и косоугольными).
Вопросы для самоанализа
1.На каком методе базируется начертательная геометрия?
2.Назовите способы проецирования. Дайте их определения. В чем суть каждого из них?
20
3.Назовите свойства проекций: а) центральных; б) параллельных косоугольных; в) ортогональных.
4.Можно ли ортогональное проецирование назвать параллельным?
5.В чем заключается метод Монжа?
Основные понятия, которые необходимо знать:
метод проецирования;
центральное проецирование;
параллельное проецирование;
ортогональное проецирование;
плоскость проекций;
проецирующий луч;
проекция;
свойства центральных и параллельных проекций; 
построение проекции точки на плоскости.
21
ГЛАВА 2 ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ
[1, с. 3–5]; [2, с. 53–61];
[3, с. 6–8]; [4, гл. 2, § 7];
[5, гл. 6, § 32–37]; [6, гл. 1, § 3–4];
§1. Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций
Обратимость чертежа, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
1.Для получения изображения объекта на плоскости выбирается ортогональное (прямоугольное) проецирование.
2.Для преобразования изображений, полученных на взаимно перпендикулярных плоскостях, изображение на одну плоскость, следует считать
неподвижным (плоскость 2), а плоскость 1 – вращающейся вокруг оси до совмещения с плоскостью 2.
3. Пространство делится на четверти двумя взаимно-перпендикуляр- ными плоскостями.
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций
(рис. 2.1).
Плоскость 1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций, вертикальную плоскость 2 – фронтальной плоскостью проекций. Х – линия пересечения плоскостей проекций, которую называют осью проекций. Ось проекций делит каждую плоскость на две полуплоскости, условно назовем их: 1 – «положительную и отрицательную», 2 – «положительную и отрицательную». Плоскости делят окружающее пространство на четыре четверти – I, II, III, IV (рис. 2.1 и 2.2).