Материал: 5565
83
Плоскости пересекающиеся
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой прямой. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей (табл. 6.2).
Таблица 6.2
Алгоритм построения линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости Р с плоскостью общего положения Q( АВС)
Вербальная форма |
|
Графическая форма |
|
|
|
|
|
B2 |
|
1. Для построения линии пересечения |
|
|
|
|
двух плоскостей Р(Р1) и Q( АВС) необ- |
A2 |
|
|
|
ходимо определить две точки M и N – |
|
|
||
|
|
|
C2 |
|
общие для этих плоскостей. Видно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонтальная проекция линии пересе- |
|
|
B1 |
|
чения плоскостей Р и Q совпадает с го- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ризонтальным следом плоскости Р1 |
|
|
|
|
M1N1 = P1 Q1 |
A1 |
N1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
P1 |
|
M1 |
C1 |
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
N2 |
|
|
A2 |
|
|
|
2. По линиям проекционной связи |
|
|
M2 |
C2 |
строим фронтальную проекцию линии |
|
|
|
|
M2N2 пересечения плоскостей P и Q |
|
|
B1 |
|
|
A1 |
N1 |
|
|
|
|
|
||
|
P1 |
|
M1 |
C1 |
84
Окончание табл. 6.2
3. Определяем видимость. Часть плоскости Q ( АВС) не видима, так как она расположена за плоскостью Р
B2 
N2
A2
M2 |
C2 |
B1
A1 N1
P1 M1 |
C1 |
§ 2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения
Для определения двух точек, принадлежащих линии пересечения двух плоскостей общего положения, применяют вспомогательные секущие плоскости (табл. 6.3).
Таблица 6.3
Алгоритм построения линии пересечения MN плоскости Q(a
b) и плоскости Σ( АВС) общего положения при помощи двух вспомогательных фронтально-проецирующих
секущих плоскостей
Вербальная форма |
|
|
Графическая форма |
|
|
||||
1. Для построения первой об- |
R2 a212 |
b2 |
|
|
|
|
|
||
щей точки М берем вспомога- |
|
|
|
B2 |
|
||||
22 |
|
|
|
|
|||||
тельную фронтально-проеци- |
|
|
M2 |
|
|
|
|||
|
|
|
32 |
|
|
||||
рующую плоскость R (R2), от- |
|
|
|
|
|
C2 |
|||
мечаем точки 12 22 = R2 |
Q2 и |
|
|
|
A2 |
|
42 |
||
3242 = R2 |
Σ2. Горизонталь- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ные проекции линии пересе- |
|
|
|
|
|
|
|
||
чения данных плоскостей с |
|
|
|
|
|
41 |
|
||
вспомогательной плоскостью |
|
|
|
|
|
|
C1 |
||
R (R2) дают первую |
общую |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A1 |
|
|
|
|||
точку М: |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1121 |
3141 = М1 |
|
a1 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
||||
Теперь строим фронтальную |
b1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
проекцию точки М (М2) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
M1 |
|
B1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 6.3 |
||
|
|
|
R2 a2 |
b2 |
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
12 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
32 |
|
|
||
2. Для построения второй об- |
62 |
|
|
|
C2 |
|||||
щей точки N проводим вторую |
|
|
72 |
|
42 |
|||||
|
|
N2 A2 |
82 |
|||||||
вспомогательную |
фронталь- |
|
|
|
|
|
||||
но-проецирующую плоскость S |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(S2), которая дает 5; 6 |
7; 8 = |
|
|
|
|
|
41 |
|
||
N: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5161 |
7181=N1. |
|
51 |
|
A1 |
81 |
|
C1 |
||
Теперь строим фронтальную |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
проекцию точки N (N2) |
a111 |
|
61 |
N1 |
71 |
31 |
|
|
||
|
|
|
b1 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 a212 |
b2 |
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S2 |
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
32 |
|
|
||
|
|
|
|
62 |
|
|
C2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
N2 A2 |
72 |
82 |
42 |
|
3. После соединения М1 |
и N1 и |
|
|
|
|
|
|
|
||
М2 и N2 получаем МN: |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
||
MN= Q (a b) |
Σ( |
ABC) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
A1 |
81 |
|
C1 |
|
|
|
|
11 |
61 |
|
|
||||
|
|
|
|
N1 |
71 |
|
|
|
||
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
b1 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание.
Для построения линии пересечения плоскостей достаточно использовать две вспомогательные секущие плоскости. Желательно, чтобы они были проецирующими, так как при этом построение линии пересечения упрощается (см. табл. 6.2).
Расчетно-графическая работа № 4 Построение линии пересечения двух плоскостей
Задание выполняется по вариантам.
1.Построить линию пересечения двух плоскостей.
2.Определить видимость плоскостей, если это необходимо.
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты заданий РГР № 4 |
|
|
|
|
||||
1 |
B2 |
|
|
|
2 |
|
E2 |
|
3 |
c2 |
|
a2 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
d2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 |
|
|
|
b2 |
A2 |
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
B1 |
C2 |
|
|
|
D2 |
C2 |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
E1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|||
A1 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
||
|
|
C |
|
b1 |
|
|
C1 |
|
|
|
d1 |
c1 |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
b2 |
a2 |
|
|
5 |
|
|
c2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
b2 |
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|||
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c1 |
b1 |
a1 |
|
|
a1 |
|
|
|
A |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
h1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
B2 |
|
8 |
B2 |
|
|
9 |
d2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
b2 |
|||||
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
22 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
42 1 |
|
32 |
C2 |
A1 |
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
41 |
B1 |
2 |
|
|
|
C1 |
a1 |
|
d1 |
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
||
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
f2 |
|
a2 |
b2 |
11 |
|
|
a2 |
12 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
C2 |
b2 |
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
b1 |
||
|
h1 |
|
|
a1 |
|
|
B1 |
a1 |
A1 |
|
C1 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение вариантов заданий РГР № 4 |
||||||||
13 |
B2 |
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
||||
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D |
E2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 |
E1 |
B1 |
F2 |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
||||||
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
||
|
|
|
C |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 b1 |
|
h1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
B1 C1 |
||||||
A1 |
|
|
F1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16 |
|
|
a2 |
17 |
B2 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b2 |
A2 |
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
C1 |
a1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
b1 |
|
d1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
B2 |
|
|
20 |
|
|
|
|
21 |
|
|
B2 |
E2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
A |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
A2 |
|
|
C2 |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
F2 |
||
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
C1 |
D |
|
|
C1 |
|
|
|
|
b1 |
a1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
F1 |
|||
|
|
C1 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
||||
A1 |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
E1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
b2 a2 |
|
f2 |
|
a2 |
|
|
2 |
|
|
B2 |
|
f2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
A2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
B1 |
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|