Документ: 5499, страницы 41-45 | База студенческих работ

41

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счёт всех условий и причин, действующих в совокупности. Она может быть исчислена:


для несгруппированных данных	2		(х х)2		;
для несгруппированных данных			n		;
			n
для сгруппированных данных	2	(x x)2 f		,
для сгруппированных данных			f	,
			f

где х – средняя, рассчитанная по всей совокупности.

Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счёт условий и причин, действующих внутри группы. Она рассчитывается по формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

2		(х	хi )2		;
i		n			;
i

2	(x xi		)2 f	,

i	f

где хi – средняя, рассчитанная по i -й группе.

Средняя из групповых дисперсий отражает вариацию признака за счёт случайных причин:

	2	i2 f	.

i		f

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счёт группировочного признака:

2 (хi x)2 f

f

.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равнв сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

2		2	2 .

	i

Правило сложения дисперсий используется в статистике для определения степени связи для определения степени связи между изучаемыми признаками. Метод аналитических группировок с применением правила сложения дисперсий позволяет определить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Первоначально рассчитывает коэффициент детерминации, который показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком:

42

2

2 2 .

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным (факторным) и результативным.

2

2 .

Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.

Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:

Эмпирическое	корреля-	0,10–,3	0,3–0,5	0,5–0,7	0,7–0,9	0,9–0,99
ционное отношение
Теснота связи		слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма
						высокая

Пример 4. Имеются следующие данные о выполнении работ проектноизыскательскими организациями разной формы собственности:

Форма собственности	Количество	Объем выполненных работ (млн руб.)
	предприятий
Государственная	4	10; 30; 20;	40

Негосударственная	6	20; 40; 60;	20; 50; 50

Определить: 1) общую дисперсию; 2) групповые дисперсии; 3) среднюю из групповых дисперсий; 4) межгрупповую дисперсию; 5) общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий; 6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим средний объём выполнения работ предприятий двух форм собственности:

х			х	10	30	20	40	20	40	60	20	50	50	340	34	млн руб.

		n						10						10
		n						10						10
Рассчитаем общую дисперсию:
	2			(х х)2		(10	34)2	(30 34)2			(20	34)2		(40 34)2		(20 34)2 (40 34)2

n

10

43

(60	34)2	(20	34)2	(50	34)2	(50	34)2	576	16	196	36	196	36	676	196
												10
256	256	2440	244

		10
		10

2.			Определим групповые средние:
х1			10	30		20		40		25 млн руб.;

						4
						4
х2			20		40	60		20	50		50	40 млн руб.

								6
								6
Групповые дисперсии:
	2			(х	хi )2
	i						;
					n		;


	2		(10		25)2			(30	25)2		(20	25)2			(40	25)2	225	25	25	225	125
1											4							4			125
1

	2		(20		40)2			(40	40)2		(60	40)2			(20	40)2	(50	40)2	(50	40)2
	2											6
												6
	400			0	400			400	100		100	1 400			233,3

						6						6
						6						6
3.		Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
									2		i2 f	125 4			233,3 6		1899,8	190 ;

									i		f				10		10
									i

4.			Определим межгрупповую дисперсию:
								2		(хi	x)2 f	(25			34)2	4 (40 34)2 6			54 .
											f					10			54 .
											f					10
5.		Рассчитаем общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий:
											2			2	190	54	244 .
											2			2
													i
													i
6.			Определим коэффициент детерминации:

2

54 0,22 .

244

Таким образом, объём работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% зависит от формы собственности предприятий.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитываем по формуле

2 0,22 0,47 .

Величина рассчитанного показателя свидетельствует о том , что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика.

44

Пример 5. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные:

% производственных	Число	Средние убытки от	Дисперсия
участков с нарушением	участков	брака продукции, тыс.	убытков
технологической дисциплины		ден. единиц	от брака
1,2 – 1,7	7	1,2	0,22
1,7 – 2,2	9	1,6	0,02
2,2 и более	6	2,0	0,06

Определите коэффициент детерминации

Решение

1. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:

	2		i2 f	0,22			7		0,02		9	0,06 6			1,54	0,18		0,36		2,08	0,09 .
i
			f						7	9	6						22			22


2.			Определим общую среднюю:
х		хi f		1,2 7			1,6		9	2,0		6	8,4	14,4		12	34,8		1,6 .
х			f		7 9					6				22				22	1,6 .
			f		7 9					6				22				22
3.			Найдм межгрупповую дисперсию:
2			(хi			x)2 f		(1,2		1,6)2		7	(1,6	1,6)2		9	(2	1,6)2		6 1,12 7 0 9 0,96 6		0,09.
				f									7	9 6							22	0,09.
				f									7	9 6							22
	4. Рассчитаем общую дисперсию:
												2		2	0,09		0,09 0,18 .
												2	i	2

7. Определим коэффициент детерминации:

2

0,09 0,5 .

0,18

Таким образом, средние убытки от брака на 50% зависят от % производственных участков с нарушением технологической дисциплины.

Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Для альтернативного признака связь между дисперсиями выражается следующей формулой:

2	2	2

	pi	pi ,
р

45

где p – доля признака;

2р – общая дисперсия:

	2		p(1 p),

	p

ррi fi ,

fi

где рi – доля признака в каждой группе;

fi

– численность единиц в отдельных группах;

fi

– объём совокупности;

2

– средняя из групповых дисперсий:

pi

2

pi(1 pi) fi

pi(1

pi)

,

pi

fi

где

2

– межгрупповая дисперсия:

pi

2

( p

p)2 fi

i

.

pi	fi

Пример 6. Имеются следующие данные о численности рабочих в цехах предприятия:

Цех предприятия	Удельный вес основных рабочих, %	Численность рабочих в
	р i	цехе, f i
1	80	100
2	75	200
3	90	150
Итого	-	450

Определите: 1) долю основных рабочих в целом по трём цехам; 2) общую дисперсию; 3) среднюю из групповых дисперсий; 4) межгрупповую дисперсию; 5) общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий.

Решение

1. Определим долю основных рабочих в целом по трём цехам

p	pi fi		0,8 100 0,75 200 0,9 150		365	0,811 .
	fi	450		450

2. Рассчитаем общую дисперсию доли основных рабочих:

2 p(1 p) 0,811(1 0,811) 0,153 .

p

3. Найдём среднюю из групповых дисперсий:

Материал: 5499

Смотрите также: