Документ: 5499, страницы 51-55 | База студенческих работ

Материал: 5499

Смотрите также:

51

где ni – число наблюдений из i -й типической группы; n − общий объём выборки;

		Ni	– объём i -й типической группы в генеральной совокупности;
		N	– объём генеральной совокупности.
При отборе пропорционально численности группы
			2 N		2n
		2	i	i	i i	. В этом случае средняя ошибка средней:
~						. В этом случае средняя ошибка средней:
	x		Ni		ni
			Ni		ni

-при повторном отборе

-при бесповторном отборе

		2
		2
	~
~	x		;
~			;
x	n
	n

				2		n
				2
	~
~			x		(1		).
~					(1		).
x			n			N
			n			N

Пример 5. Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка по цехам с отбором единиц пропорционально численности групп.

Цех	Объём выборки,	Средняя заработная		Среднее квадратическое
	чел, ni	плата, руб.,	~	отклонение, руб.
	чел, ni	плата, руб.,	x	отклонение, руб.	i
			i		i
1	120	26 873		30
2	100	27 886		80
3	180	28 900		60
Итого	400	-		-

С вероятностью 0,997 (t=3) определить пределы, в которых находится заработная плата всех рабочих завода.

Решение:

1. Находим общую выборочную среднюю заработную плату:

2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:

	2	i2ni	302 120 802 100 602 180	340 .
~

x		ni	400

3. Определяем среднюю ошибку выборочной средней заработной платы


~		хi	(1	n )	340 (1 0,2) 2,64 руб.
	~

х	n			N	400
	n			N	400

4. Находим предельную ошибку выборочной средней заработной платы w t w 3 2,64 7,92 руб.

5. Определяем пределы изменения генеральной средней

~

x

~

x

52

~	~ ;	28038,4	7,92 x 28038,4 7,92;
x x
	x
28030,48 руб. x			28046,32 руб.

Средняя ошибка доли при пропорциональном типическом отборе:

2 w nw ,

где

2

wi (1 wi )ni

;

w (1

w )

w

i

ni

2

n

-

при бесповторном отборе w

w

(1

).

n

N

Второй вариант выбора единиц в типическую группу пропорционально внутригрупповой дифференциации признака, т.е. оптимальное размещение (непропорциональная типическая выборка). Расчёт объёма выборки из каждой

типической группы производится по формуле ni

n

Ni

i

,

Ni i

где

i

–

среднее

квадратическое

отклонение

признака в i-й группе

генеральной совокупности.

Данная формула получена следующим образом:

ni

n

Ni

i

n

Ni

i

,

Ni

i

i Ni

где

Ni

N, а i

– средняя из групповых средних квадратических

Ni

отклонений.

Средняя ошибка средней непропорциональной типической выборки:

-при повторном отборе

-при бесповторном отборе

~

x

~

х

1

2 N

2i

,

i

N

ni

1

2 N 2i

n

i

(1

i

) .

N

ni

Ni

Пример 6. 10%-ный бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный дифференциации признака (число дней временной нетрудоспособности), привел к следующим результатам:

Цех	Всего рабочих, чел, Ni	Дисперсия числа дней временной
		нетрудоспособности,	2
		нетрудоспособности,	i
			i

1	1 000	49
2	1 400	25

		53

3	800	16
Итого	3 200	-

С вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборки.

Решение

1. Определим необходимый объем выборки по каждому цеху:

			i Ni
n	i	n	i Ni			;	i	N	i		49 1000				25 1 400					16		800		172 00;
n		n				;		N			49 1000				25 1 400					16		800		172 00;
				i Ni
				i Ni

n		320			49 1 000			130чел. ;				n		320	25 1 400					130 чел.;				n		320		16 800				60 чел.
1			17 200										2		17 200										3			17 200
			17 200												17 200													17 200

																						1			2 N 2i				n
		2. Рассчитаем среднюю ошибку выборки																		~					i		(1			i	) =
		2. Рассчитаем среднюю ошибку выборки																		~							(1				) =
																					х		N			ni			Ni
																							N			ni			Ni

=		1		49 1 0002			(1			130	)		25 1 400		2	(1		130	)	16		8002		(1		60	)	0,28.

		3 200		130					1 000					130			1 400					60				800
		3 200		130					1 000					130			1 400					60				800
		3. Находим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2)
														~	~		2 0,28 0,56.
														х t	~		2 0,28 0,56.
																x

Разновидностью типической является районированная выборка, при которой отбор единиц для наблюдения проводится из групп, представленных административно-территориальными образованиями.

Серийный (гнездовой) отбор

Серийный (гнездовой) отбор применяется в том случае, если генеральная совокупность разбита на группы ещё до начала выборочного обследования. При проведении выборки из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые их серии, причем, в рамках каждой серии обследуются все попавшие в неё единицы.

При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки для средней определяется по формулам:

- при повторном отборе серий:

где r – число отобранных серий;

2 – межсерийная дисперсия:

~

x

~	– средняя i-й серии;
xi

	2
	~
~	х	,
~		,
х	r
	r

	~	~	2
2	(xi	x )		,
~				,
x		r
		r

~ общая средняя по всей выборочной совокупности: x –

~	xi	;
x
	r

	54

		2		r
		~		r
- при бесповторном отборе серий	~	х	(1		),
- при бесповторном отборе серий	~		(1		),
	х	r		R
		r		R

где R – общее число серий в генеральной совокупности.

Из приведённых формул следует, что случайная ошибка серийной выборки должна быть меньше, чем межсерийная дисперсия и, следовательно, тем более однородны внутри себя серии.

Пример 7. Из 100 ящиков (R) по 400 деталей в каждом, поступивших в течение квартала на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков (r), все детали которых проверены на вес, были получены следующие результаты:

Показатель			Ящик
	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	50	49	53	53	55

По этим данным установить возможные пределы среднего веса детали в ящиках, поступивших на склад с вероятностью 0,954 (t=2).

Решение

Средний вес детали в 5 отобранных ящиках составляет:

				~			~			50				49			53		53 55
				~			xi			50				49			53		53 55				52г .
					x
					x		r										5
							r										5
Межсерийная дисперсия равна:
	~	~	2	(50		52)	2			(49			52)		2		(53			52)	2		(53 52)	2	(55 52)	2
2	(xi	x )		(50		52)				(49			52)				(53			52)			(53 52)		(55 52)		4,8.
~																											4,8.
x		r																	5
		r																	5
Средняя ошибка средней серийной выборки будет

							2						r
							2										4,8			5
							~										4,8			5
				~					х		(1			) =				(1				) 0,95.
				~							(1			) =				(1				) 0,95.
					х			r					R				5			100
								r					R				5			100
Предельная ошибка средней										~			t		~		2		0,95			1,9.
Предельная ошибка средней												х	t		~		2		0,95			1,9.
																x
Пределы отклонения генеральной средней:
										~			~				~			~
										~			~		х		~			~
										х			х		х		х			х;

52 1,9 х 52 1,9;

50,1г х 53,9г.

Средняя ошибка выборочной доли при случайной выборке в случае равновеликих серий определяется по формулам:

	2
- при повторном отборе w	w	,
- при повторном отборе w	r	,
	r

55

где

формуле

где w wi

w2 – межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли, определяемая по

	(w		)2
2		w
	i			,
w	r

−доля признака по всей выборочной совокупности;

–доля признака по i -й серии.

	2		r
- при бесповторном отборе w	w	(1		).

	r		R

Определение необходимой численности выборки

Для определения необходимой численности выборки нужно задать уровень точности выборочной совокупности с определённой вероятностью. В частности, необходимая численность случайной повторной выборки определяется по

формуле			n	t 2	2	, которая вытекает из формулы предельной ошибки:
формуле			n		2	, которая вытекает из формулы предельной ошибки:

	2
t		.
t	n	.

При проектировании выборочного наблюдения предполагаются заранее заданными величина допустимой ошибки в соответствии с задачами

конкретного исследования	( )	и вероятность выводов по результатам
наблюдения (t) . Величина	2 ,	характеризующая дисперсию признака в

генеральной совокупности, зачастую бывает неизвестна. Поэтому используют приближённые оценки генеральной дисперсии.

1. Исходя из результатов специально организованного пробного обследования (обычно небольшого объема), на базе которого определяется

где	~	– средняя арифметическая по результатам пробного обследования;
	xпроб

nпроб – число единиц, попавших в пробное обследование.

По данным нескольких пробных обследований выбирается наименьшее значение.

2. Опираясь на данные предыдущих обследований, как выборочных так и сплошных, проводившихся в аналогичных целях. Дисперсию изучаемого

26 873 120 27 886 100 28 900 180