Документ: 5499, страницы 46-50 | База студенческих работ

46

	2			pi(1	pi) fi	0,8(1		0,8) 100 0,75(1				0,75)	200 0,9(1	0,9) 150	67	0,149 .

	pi				fi					450					450
	pi

	4. Определим межгрупповую дисперсию:
2			( pi		p)2 fi		(0,8	0,811)2 100		(0,75		0,811)2 200 (0,9		0,811)2	150 1,944			0,004.
pi				fi								450					450	0,004.
pi

		5. Используя правило сложения дисперсий, рассчитаем общую диспенрсию:
								2			2	2	,
								2			2	2	,
									р		pi	pi

получаем

0,153 = 0,149 + 0,004.

Тема 6 . Выборочное наблюдение

Выборочное наблюдение − это вид несплошного обследования, при котором осуществляется отбор части единиц совокупности в случайном порядке, а полученные результаты распространяются на всю исходную (генеральную) совокупность с определённым уровнем вероятности.

Отбор единиц выборочную совокупность может быть повторным и бесповторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица совокупности возвращается в генеральную совокупность и может участвовать в дальнейшей процедуре отбора.

При повторном отборе попавшая в выборку единица совокупности в дальнейшем отборе не участвует.

Выборочное наблюдение всегда связано с определёнными ошибками, которые возникают в силу того, что всегда есть количественные расхождения между генеральными и выборочными характеристиками.

Ошибки выборки зависят от конкретного способа отбора. Способ отбора определяет механизм выборки единиц из генеральной совокупности. В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: 1) собственно-случайная; 2) механическая; 3) типическая; 4) серийная.

Ошибки выборки при некоторых способах отбора. Необходимая численность выборки

Собственно-случайная и механическая выборка

47

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системы. Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьёвки или по таблицам случайных чисел.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. При проведении бесповторного отбора раз отобранная единица в исходную совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибка выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формулам:

2 ~

2

w(1 w)

для средней

~

x

,

для доли

w

,

w

х

n

где

~

− средняя ошибка средней;

x

2 ~

− выборочная дисперсия;

х

w – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выборочной

совокупности;

2

− дисперсия доли,

2

w(1

w)

w

(1 w) – доля единиц в выборке, не обладающих изучаемым признаком;

n

– объём выборки.

Предельная ошибка выборки определяется по формулам:

для средней ~ t

~ ; для доли

w

t

w

.

x

На основе предельной ошибки и выборочной средней или доли определяются пределы отклонения генеральной средней (доли):

~

х

~

х

~		w		p w
х х	~ ;		w		w
	х

Пример 1. Методом собственно случайной выборки обследована жирность

молока у 100 коров ( n ). По данным выборки,	средняя			жирность молока
~		2	~	).
оказалась равной 3,64% ( х ), а дисперсия составила 2,56 (			х	).

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

		Решение

		2 ~
		2 ~		2,56
а) средняя ошибка средней			х	2,56		0,16%	;
	~
	~
	х		n	100
			n	100
б) предельная ошибка выборки ~ t				~ .
		x			x

48

~

x

По	таблице значений Ф(t) (Приложение Б) при		0,954 t 2 .
2	0,16	0,32%

Следовательно, предельные значения средней жирности молока в генеральной

совокупности	~	~	~	~ ;
совокупности	x	~	x x	~ ;
		x		x
			3,64 0,32		х	3,64 0,32 ;
				3,32%	х	3,96% .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что пределы изменения средней жирности молока в генеральной совокупности будут находиться от 3,32% до 3,96%.

Можно решить и обратную задачу: задав предельную ошибку выборки,

определить вероятность, с которой она может						быть гарантирована. При
этом,	зная	и	, сначала	находят	коэффициент		доверия
t	, а	затем по	таблице	Приложения	Б	определяют	искомое значение

вероятности.

Пример 2. На основе выборочного обследования 600 рабочих ( n 600 ) одной из отраслей промышленности установлено, что численность женщин составляет 240 человек ( m 240 ).

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли

женщин, занятых в этой отрасли, допущенная ошибка (

w ) не превышает 5%

(0,05)?

Решение

Определяем выборочную долю: w

m

240

0,4 . Чтобы найти вероятность

n

600

допуска той или иной ошибки, из формулы

w

t

w , определяем показатель t ,

связанный с вероятностью:

t

w

0,05

2,5.

w

w 1 w

0,4 1

0,4

n

600

По таблице значений Ф(t)

(Приложение

Б)

для

t 2,5 находим, что

0,988 , т.е. с вероятностью 0,988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0,4) в общем числе рабочих допущена ошибка не более 0,05 (5%).

При расчёте средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

49

	2 ~		n				2		n
для средней ~	х	(1		) ;	для доли		w	(1		) .
						w
х	n		N				n		N

Чем больше объём выборки					и доля обследованных единиц,				тем меньше
ошибка выборки.
Пример 3. Если предложить,					что данные, представленные в предыдущей

задаче, являются результатом 5%-го бесповторного отбора, т.е. объём генеральной совокупности:

N

100

2 000

коров,

5

тогда средняя ошибка средней для бесповторного отбора:

2 ~

n

2,56

100

~

х

(1

)

(1

)

0,156% ,

х

n

N

100

2000

а предельная ошибка средней:

~

t

~

2 0,156

0,312% .

х

x

Следовательно, пределы отклонения генеральной средней будут находиться:

~

~ ;

х

~ х х

х

3,64

0,312 х 3,64 0,312 ;

3,328%

х

3,952% .

Средняя ошибка выборки для доли при собственно-случайном бесповторном

отборе рассчитываем по формуле

w(1

w)

(1

n

) .

w

n

N

Если w(1

w) обозначить

2

(дисперсия альтернативного признака), то

w

2

n

w

(1

) .

w

n

N

Пример 4.

На заводе

электроламп

из

партии

продукции в количестве

1 600 шт. ламп взято на выборку 160 шт., из которых 4 шт. оказались бракованными. Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

									Решение
Определим долю бракованной продукции выборки
		w			m			4			0,025 , или 2,5%.

					n			160
					n			160
При вероятности P	0,683			t 1 (Приложение Б).
Размер предельной ошибки

	2
	2					n					0,024			160
w t w t		w	(1			n	)	1			0,024	(1		160	) 0,011	, или 1,1%
w t w t			(1				)	1				(1			) 0,011	, или 1,1%
		n				N				160			1600

2 w

50

0,025(1 0,025) 0,024 .

Доверительные интервалы для генеральной доли с вероятностью P 0,683 :

w	w	p	w	w ;
2,5	1,1	p	2,5	1,1;
1,4%	p	3,6%.

Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определённая последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.).

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объёмов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 500 000 единиц предлагается получить 2%-ную выборку, т.е. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора

составит	1	1		.

	50		500 000 :10 000

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%- ная выборка) – каждая 20-я единица, и т.д. Такой способ отбора удобен в том случае, если заранее известны границы генеральной совокупности.

Типический (стратифицированный, расслоенный, районированный) отбор

Типический отбор используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. При обследовании населения такими группами могут быть, например, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий – отрасль или подотрасль, форма собственности и т.п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственнослучайным или механическим способом.

Наиболее часто применяется так называемое пропорциональное размещение (пропорциональная типическая выборка), когда количество отбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу данной группы по числу единиц в генеральной совокупности, т.е. число наблюдений по каждой группе

определяется по формуле n n	Ni	,

i	N

Материал: 5499

Смотрите также: